Questão 5

IME 2013

Matemática

[IME - 2013/2014 - 1a fase] Uma elipse cujo centro encontra-se na origem e cujos eixos são paralelos ao sistema de eixos cartesianos possui comprimento da semi-distância focal igual a e excentricidade igual a . Considere que os pontos A, B, C e D representam as interseções da elipse com as retas de equações e . A área do quadrilátero ABCD é

Gabarito:

Resolução:

Sendo a equação da elipse:

$frac {x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$

Temos que:

$c = sqrt3$

$e = frac{c}{a} = frac{sqrt3}{2} Rightarrow a = 2$

$c^2 = a^2 -b^2 Rightarrow b = 1$ .

Então a elipse é:

$frac {x^2}{4} + frac{y^2}{1} = 1$

Precisamos agora resolver os sistemas:

$left{egin{matrix} frac {x^2}{4} & +y^2 &= 1 \ x& -y & =0 end{matrix} ight.$

$left{egin{matrix} frac {x^2}{4} & +y^2 &= 1 \ x& +y & =0 end{matrix} ight.$

Resolvendo o primeiro temos:

$x = y =pmfrac{2 sqrt5}{5}$

$A = (frac{2 sqrt5}{5} , frac{2 sqrt5}{5})$

$B = (-frac{2 sqrt5}{5} , -frac{2 sqrt5}{5})$

Resolvendo o segundo temos:

$x =pmfrac{2 sqrt5}{5}$

$y =mpfrac{2 sqrt5}{5}$

$C = (frac{2 sqrt5}{5} , -frac{2 sqrt5}{5})$

$D = (-frac{2 sqrt5}{5} , frac{2 sqrt5}{5})$

O quadrilátero ABCD é um quadrado de lado $L =frac{4 sqrt5}{5}$

A área do quadrilátero será $A = L^2 =frac{16}{5}$

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