Questão 7

IME 2013

Matemática

[IME - 2013/2014 - 1a fase] Sejam uma circunferência C com centro O e raio R, e uma reta r tangente a C no ponto T. Traça-se o diâmetro AB oblíquo a r. A projeção de AB sobre r é o segmento PQ. Sabendo que a razão entre OQ e o raio R é √7/2 , o ângulo, em radianos, entre AB e PQ é

A

B

C

D

E

Gabarito:

Resolução:

Interpretando o enunciado:

Onde buscamos o valor de $alpha$ .

Note que PT = TQ, pois são equidistantes ao centro da circunferência.

Vamos traçar OQ, devido à informação dada no enunciado: Onde $frac{OQ}{R}= frac{sqrt{7}}{2} ightarrow OQ = frac{Rsqrt{7}}{2}$

Por pitágoras em OTQ:

$R^2 + TQ^2 = (frac{Rsqrt{7}}{2})^2$

$R^2 + TQ^2 = frac{7R^2}{4}$

$TQ^2 = frac{7R^2}{4} - R^2$

$TQ^2 = frac{3R^2}{4}$

$TQ = frac{Rsqrt{3}}{2}$

Chamando o vértice que contém o ângulo $alpha$ de M, temos:

Temos, por semelhança de triângulos, entre BQM e APM:

$frac{2R+BM}{2 cdot frac{Rsqrt{3}}{2}+QM} = frac{BM}{QM}$

$frac{2R+BM}{Rsqrt{3}+QM} = frac{BM}{QM}$

$QM cdot (2R + BM) = BM cdot (Rsqrt{3}+QM)$

$2R cdot QM + QM cdot BM = R sqrt{3} cdot BM + QM cdot BM$

$2R cdot QM = R sqrt{3} cdot BM$

$2 cdot QM = sqrt{3} cdot BM$

$QM = frac{BMsqrt{3}}{2}$

Por fim, agora que temos uma relação entre QM e BM, podemos utilizar a potência de ponto em M para finalizar a questão:

$(QM + frac{Rsqrt{3}}{2})^2 = BM cdot (BM + 2R)$

$QM^2 + 2 cdot QM cdot frac{Rsqrt{3}}{2} + (frac{Rsqrt{3}}{2})^2 = BM^2 + 2R cdot BM$

Simplificando:

$QM^2 + QM cdot Rsqrt{3}+ frac{3R^2}{4} = BM^2 + 2R cdot BM$

Substituindo $QM = frac{BMsqrt{3}}{2}$

$(frac{BMsqrt{3}}{2})^2 + frac{BMsqrt{3}}{2} cdot Rsqrt{3}+ frac{3R^2}{4} = BM^2 + 2R cdot BM$

$frac{3BM^2}{4} + frac{3 cdot BM cdot R}{2} + frac{3R^2}{4} = BM^2 + 2BM cdot R$

$3BM^2 + 6 cdot BM cdot R + 3R^2 =4BM^2 + 8 cdot BM cdot R$

$3R^2 = BM^2 + 2 cdot BM cdot R$

Podemos somar $R^2$ dos dois lados, para completar quadrados:

$3R^2 + R^2 = BM^2 + 2 cdot BM cdot R + R^2$

$4R^2 = (BM+R)^2$

$(2R)^2 = (BM+R)^2$

O que só é possível se BM = R

Como BM = R:

$Sen(alpha)= frac{R}{2R}$

$Sen(alpha)= frac{1}{2}$

$alpha = frac{pi}{6}$

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