Questão 5

IME 2013

Matemática

[IME- 2013/2014 - 2ª fase]

Seja BCDA'B'C'D' um prisma reto de base retangular ABCD. Projeta-se o ponto médio M da maior aresta da base sobre a diagonal AC, obtendo-se o ponto P. Em seguida projeta-se o ponto P na face oposta, obtendo-se o ponto N. Sabe-se que $|overline{NA^{2}}-overline{NC^{2}}|=k$ . Determine o comprimento da menor aresta da base.

Gabarito:

Resolução:

Adote:

x = AB = CD

y = AD = BC

c = AP

d = PC

$alpha = Chat{A}D = Mhat{A}P$

A base ABCD do prisma pode ser representada por:

Em ABC:

$cos alpha = frac{y}{sqrt{x^{2} +y^{2}}}$

Em APM:

$cosalpha = frac{y}{sqrt{x^{2}+y^{2}}} = frac{c}{frac{y}{2}}$

$c = frac{y^{2}}{2sqrt{x^{2} +y^{2}}} (I)$

O segmento AC:

$c+d = sqrt{x^{2}+y^{2}} (II)$

Substituindo I em II:

$frac{y^{2}}{2sqrt{x^{2}+y^{2}}}+d = sqrt{x^{2}+y^{2}} - frac{y^{2}}{2sqrt{x^{2}+y^{2}}}$

$d = frac{2x^{2}+y^{2}}{2sqrt{x^{2}+y^{2}}} (III)$

Projetando P na face oposta:

Pelas relações I e III, conclui-se que d > c.

O comando da questão afirma que $|(AC)^{2} - (NC)^{2}| = k$ . Como c e d são projeções sobre AC, concluímos, também, que b > a. Portando:

$b^{2} - a^{2} = k (IV)$

Por Pitágoras:

$(NP)^2 = a^{2} - c^{2} = b^{2}-d^{2}$

Substituindo I, II e III

$k = (frac{2x^{2}+y^{2}}{2sqrt{x^{2}+y^{2}}})^{2} - (frac{y^{2}}{2sqrt{x^{2}+y^{2}}})^{2}$

$k = frac{4x^{4}+4x^{2}y^{2}+y^{4}}{4(x^{2}+y^{2})} - frac{y^{4}}{4(x^{2}+y^{2})}$

$k = frac{4x^{4}+4x^{2}y^{2}}{4(x^{2}+y^{2})} = frac{4x^{2}(x^{2}+y^{2})}{4(x^{2}+y^{2})}$

$x = sqrt{k}$

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