Questão 4

IME 2013

Matemática

[IME- 2013/2014 - 2ª fase]

Resolva a equação $(log_{cos x}sen^{2}x).(log_{cos^{2}x}sen x)=4$

Gabarito:

Resolução:

Limitando as funções trigonométricas pela condição de existência do logaritmo:

Para que existam:

$log_{cosx}(sen^{2}x)$
$log_{cos^{2}x}(senx)$

É necessário que:

$left{egin{matrix} sen^{2}x &>0 \ cosx &>0 \ cosx& eq 1\ senx& >0\ cos^{2}x&>0 \ cos^{2}x & eq 1 end{matrix} ight.$

Assim:

cos x > 0;
sen x > 0;

Tal que:

$x in ]0 + 2kpi, frac{pi}{2} + 2kpi [, k in mathbb{Z}$

Sabe-se que:

$log_{b^{n}}(a^{m}) = frac{m}{n}log_{b}a$

Disso:

$[log_{cosx}(sen^{2}x)] cdot [log_{cos^{2}x}(senx)] = 2cdot (log_{cosx}senx)cdot frac{1}{2}cdot[log_{cosx}(senx)] = 4$

$[log_{cosx}(senx)]^{2} = 4$

$log_{cosx}(senx) = pm 2$

Se $log_{cosx}(senx) = - 2$ , teremos que $cos^{-2}x = sec^{2}x = sen x$ . Porém, $sec^{2}x = (1+tg^{2}x) geq 1$ , o que nos dá como única solução possível $sec^{2}x = sen x = 1$ . Ademais, se sen x =1, cos x = 0 e a sec(x) estaria fora de seu domínio, isto é, não existiria. Portanto, esse resultado não geraria soluções.

A única equação possível é para:

$log_{cosx}(senx) = 2$

$cos^{2}x = sen x$

$1-sen^{2}x = sen x$

$sen^{2}x + senx -1 = 0$

Fazendo $y = sen x$ , temos que:

$y^{2} + y -1 = 0$ , tal que:

$y = sen x = frac{-1 pm sqrt{5}}{2}$

Como $frac{-1-sqrt{5}}{2} < -1$ foge do domínio estabelecido inicialmente, conclui-se que:

$senx = frac{sqrt{5}-1}{2}$

Portanto:

$S = {arcsen(frac{sqrt{5}-1}{2}+2kpi, k in mathbb{Z}) }$

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