Questão 9

IME 2013

Matemática

[IME- 2013/2014 - 2ª fase]

Resolver o sistema de equações $left{egin{matrix} sqrt{x}-sqrt{y}=log_3frac{y}{x}\ 2^{x+2}+8^x=5 cdot4^y end{matrix} ight.$ .

Gabarito:

Resolução:

Notemos que na primeira equação se x < y:

$sqrt{x} - sqrt{y} < 0$

$log_3 frac{y}{x} < 0$

O que é um absurdo, já que y > x.

Se x > y:

$sqrt{x} - sqrt{y} > 0$

$log_3 frac{y}{x} > 0$

O que é um absurdo, pois x > y.

Assim, só resta que x = y.

Reorganizando a segunda equação:

$2^{x+2}+ 8^x = 5 cdot 4^y$

$2^{x+2}+ 8^x = 5 cdot 4^x$

$2^{x+2}+ 2^{3x} = 5 cdot 2^{2x}$

$2^2 cdot 2^x+ (2^x)^3 = 5 cdot (2^x)^2$

$4 cdot 2^x+ (2^x)^3 = 5 cdot (2^x)^2$

Chamamos $2^x = k$

$4 cdot k+ (k)^3 = 5 cdot (k)^2$

Organizando:

$k^3 - 5k^2 + 4k = 0$

Colocando k em evidência:

$k (k^2 - 5k + 4)= 0$

Assim, vemos que ou k = 0 ou k² - 5k + 4 = 0 .

k = 0 gera absurdo, pela primeira equação.

Então:

$k^2 - 5k + 4 = 0$

$Delta = (-5)^2 - 4 cdot 1 cdot 4$

$Delta = 25 - 16$

$Delta = 9$

$sqrt{Delta}=sqrt{9}=3$

$k_1 = frac{-(-5)+3}{2} = frac{5+3}{2} = frac{8}{2}=4$

$k_2 = frac{-(-5)-3}{2} = frac{5-3}{2} = frac{2}{2}=1$

Como $2^x = k$

$2^x = 4$ ou $2^x = 1$

x = 2 ou x = 0.

x = 0 provoca um absurdo na primeira equação, ou seja, resta x=2, e como x=y, y=2.

Resultado: (2, 2).

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