Questão 2

IME 2013

Matemática

[IME- 2013/2014 - 2ª fase]

Calcule o determinante abaixo, no qual $omega = cisfrac{2pi}{3}$ e $i = sqrt{-1}$

Gabarito:

Resolução:

$det A = egin{vmatrix} 1 & omega& 0 &i \ i & 1 &-i & omega^{2} \ 1-i & omega & i-1 & 1\ 0& omega & 1 & i end{vmatrix} = egin{vmatrix} 1 &omega &0 &i \ 0 &1 &-i &omega^{2} \ 0& omega & i-1 & 1\ 1& omega &1 & i end{vmatrix}$

Aplicando Chió:

$det A = egin{vmatrix} 1 &omega &0 &i \ 0 &1 &-i &omega^{2} \ 0& omega & i-1 & 1\ 1& omega &1 & i end{vmatrix} = egin{vmatrix} 1 & -i &omega^{2} \ omega & 1-i &1 \ 0 &1 & 0 end{vmatrix}$

Expandindo a última linha por Laplace:

$det A = 0 cdot cof (a_{31}) + 1 cdot (-1)^{3+2} egin{vmatrix} 1 &omega^{2} \ omega & 1 end{vmatrix} + 0 cdot co(a_{33}) = - (1-omega^{3})$

$detA = omega^{3} - 1$

Assuma:

$omega = cis frac{2pi}{3} = cos(frac{2pi}{3}) + i sen (frac{2pi}{3})$

$omega^{3} = cis (3 cdot frac{2pi}{3}) = cis (2pi) = cos (2pi) + i sen(2pi)$

$oxed{det A = 1-1 = 0}$

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