Questão 12

IME 2013

Matemática

(IME - 2013/2014) Em uma progressão aritmética crescente, a soma de três termos consecutivos é e a soma de seus quadrados é . Sabe-se que os dois maiores desses três termos são raízes da equação . A razão desta PA é

Gabarito:

Resolução:

Sejam os primeiros termos:

a - r, a, a + r

S₁ = a - r + a + a + r .:. S₁= 3a

S₂= (a - r)²+ a²+ (a + r)² --->> S₂= a² - 2ar + r²+ a²+ a² + 2ar + r² --->> S₂= 3a² + 2r²

Equação:

$x^2-S_{1}x+(S_{2}-frac{1}{2})=0$

Substituindo:

$x^2-3ax+(3a^2+2r^2-frac{1}{2})=0$

Do enunciado, temos que a é raiz:

$\a^2-3aa+(3a^2+2r^2-frac{1}{2})=0\\Rightarrow a^2-3a^2+3a^2+2r^2-frac{1}{2}=0;;;;; herefore mathbf{a^2=frac{1}{2}-2r^2}$

E (a + r) também é raiz

$\(a+r)^2-3a(a+r)+(3a^2+2r^2-frac{1}{2})=0\\a^2+2ar+r^2-3a^2-3ar+3a^2+mathbf{2r^2-frac{1}{2}}=0\\a^2-ar+r^2mathbf{-a^2}=0;;;;Rightarrow r(r-a)=0\r=0;;; ou;;;r=a$

r = 0 não convém, portanto a = r

$\a^2=frac{1}{2}-2r^2;;;; ightarrow r^2=frac{1}{2}-2r^2;;;; ightarrow 3r^2=frac{1}{2}\\\r=frac{1}{sqrt{6}}=frac{sqrt{6}}{6}$

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