Questão 10

IME 2013

Matemática

[IME - 2013/2014 - 1a fase] Sabe-se que o valor do sexto termo da expansão em binômio de Newton de é 84. O valor da soma dos possíveis valores de x é

Gabarito: 3

Resolução:

Pelo termo geral do Binômio de Newton:

$T_{p+1}=egin{pmatrix} n\p end{pmatrix}a^{n-p}cdot b^p$

$T_6=T_{5+1}=egin{pmatrix} 7\ 5 end{pmatrix}cdot egin{pmatrix} 2^{log_2sqrt{9^{k-1}+7}} end{pmatrix}^2cdot egin{pmatrix} frac{1}{2^{frac{1}{5}log_2(3^{k-1}+1)}} end{pmatrix}^5$

Para facilitar a resolução, simplificaremos separadamente algumas partes da expressão acima para depois encontrar os valores de x:

(i) Utilizando a propriedade do logarítmo de que $a^{log_ab}=b$ :

$2^{log_2sqrt{9^{k-1}+7}} =sqrt{9^{k-1}+7}$

(ii) Utilizando a propriedade do logarítmo de que $ncdot log_ab=log_ab^n$ :

$2^{frac{1}{5}log_2(3^{k-1}+1)}=2^{log_2(3^{k-1}+1)^{frac{1}{5}}}$

$=(3^{k-1}+1)^{frac{1}{5}}$

Substituindo esses valores:

$T_6=egin{pmatrix} 7\5 end{pmatrix}cdot egin{pmatrix} sqrt{9^{k-1}+7} end{pmatrix}^2cdot egin{pmatrix} frac{1}{sqrt[5]{3^{k-1}+1}} end{pmatrix}^5$

$T_6=frac{7cdot 6 cdot 5!}{5!cdot 2!}cdot egin{pmatrix} 9^{k-1}+7end{pmatrix} cdot egin{pmatrix} frac{1}{3^{k-1}+1} end{pmatrix}$

$T_6=21cdot frac{9^{k-1}+7}{3^{k-1}+1}=84$

$frac{9^{k-1}+7}{3^{k-1}+1}=4$

$9^{k-1}+7=4cdot 3^{k-1}+4$

$3^{2(k-1)}+7=4cdot 3^{k-1}+4$

Seja $3^{k-1}=m$ :

$m^2+7=4m+4$

$m^2-4m+3=0$

$(m-3)(m-1)=0$

$m=3$ ou $m=1$

Para $m=3$ :

$3^{k-1}=3$

$k=2$

Para $m=1$ :

$3^{k-1}=1$

$k=1$

Então a soma dos possíveis valores de k é $2+1=3$

Alternativa correta é Letra C.

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