Questão 1

IME 2012

Matemática

[IME - 2012/2013 - 1ª fase] Os polinômios P(x) = x³ + ax² + 18 e Q(x) = x³ + bx + 12 possuem duas raízes comuns. Sabendo que a e b são números reais, pode-se afirmar que satisfazem a equação

a = b

2a = b

a = 2b

2a = 3b

3a = 2b

Gabarito: 2a = b

Resolução:

Podemos escrever P e Q da seguinte forma:

$P(x) = (x-alpha)R(x)$
$Q(x) = (x-eta)R(x)$

Nesse caso $alpha e eta$ representam as raízes que não são comuns aos dois polinômios. Com isso, podemos usar as duas equações acima para fazer a seguinte relação:

$(x-eta)(P(x)) = (x-alpha ) (Q(x))$

$(x-eta) (x^{3}+ax^{2}+18) = (x-alpha) (x^{3}+bx+12)$

$x^{4} + (alpha - eta)x^{3} -eta ax^{2}+18x - 18eta = x^{4} -alpha x^{3} +bx^{2} + (12-alpha b)x - 12alpha$

Pela igualdade de termos de mesmo grau, construímos:

$a - eta = - alpha Rightarrow a = eta - alpha$
$-eta a = b Rightarrow b = - eta a$
$18 = 12 - alpha b Rightarrow alpha b = -6$
$- 18eta = -12 alpha Rightarrow alpha = frac{3}{2}eta$

Resolvendo os sistemas e efetuando as substituições:

$a = -frac{eta}{2}$
$b = -eta a$
$b eta = -4$

Substituindo as equações uma na outra:

$-4 = beta = (-eta a)eta = -eta^{2}a = -eta ^{2}(frac{-eta}{2})$

$eta^{3} = -8$

$eta = -2$

Logo:

$b = 2a$

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