Questão 2

IME 2012

Matemática

[IME - 2012/2013 - 1a fase]

Assinale a alternativa que apresenta o mesmo valor da expressão $[4cos^2 (9^circ)-3][4cos^2(27^circ)-3]$ .

Gabarito:

Resolução:

$left [ 4cos^{2}(9^{0})-3 ight ]left [ 4cos^{2}(27^{0})-3 ight ]$

Essas expressões entre parênteses lembram a relação trigonométrica para o cos(3x).

cos(3x) = 4cos³(x) -3cos(x).

Para fazer a expressão de cada colchete ficar na forma da relação trigonométrica falta multiplicar cada uma delas por seu respectivo cosseno.

Então vamos multiplicar e dividir a expressão por cos(9º)cos(27º).

Assim a expressão passa a ser:

$\frac{[4cos^3(9^ circ) -3cos(9^circ)][4cos^3(27^circ) - 3cos(27^circ)]}{cos(9^circ)cos(27^circ)} Rightarrow frac{cos(3*9^circ)cos(3*27^circ)}{cos(9^circ)cos(27^circ)} Rightarrow \\\ frac{cancel{cos(3*9^circ)}cos(3*27^circ)}{cos(9^circ)cancel{cos(27^circ)}} Rightarrow frac{cos(81^circ)}{cos(9^circ)} = frac{sen(9^circ)}{cos(9^circ)} = tg(9^circ)$

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