Questão 4

Gabarito:

I e II apenas.

Resolução:

I. a² + b² + c² ≥ ab + bc + ac (VERDADEIRO)

Sendo a, b e c quaisquer números reais, temos, pela desigualdade das médias, o seguinte:

 

 

De modo análogo, temos que:

b² + c² ≥ 2|bc|

a² + c² ≥ 2|ac|

a² + b² ≥ 2|ab|

Somando as três inequações, temos que:

2*(a² + b² + c²) ≥ 2*( |ab| + |bc| + |ac| ), então

a² + b² + c² ≥ |ab| + |bc| + |ac| (I)

Da desigualdade modular, temos que |x| + |y| ≥ |x + y|, assim, temos de (I) que:

a² + b² + c² ≥ |ab| + |bc| + |ac| ≥ |ab + bc| + |ac| ≥ |ab + bc + ac| ≥ ab + bc + ac

 

II. a³ + b³ ≥ a²b + ab² (VERDADEIRO)

Sejam a e b números reais quaisquer, tem-se, pela desigualdade das médias, que:

 

a² + b² ≥ 2|ab| ≥ 2ab

 

1) Sendo a+b > 0, multiplicando ambos os lados da inequação por a + b, temos que:

 

(a² + b²)*(a + b) ≥ 2ab*(a + b), então

 

a³ + b³ + ab*(a + b) ≥ 2ab*(a + b), então

 

a³ + b³ ≥ ab*(a + b) = a²b + ab².

 

 

III. a² - b² ≥ (a - b)⁴ (FALSO)

Fazendo um teste rápido, em que a = 3 e b = 1, temos que (a - b)⁴ = (3 - 1)⁴ = 16 e que a² - b² = 2² - 1² = 3. Assim, vemos que é falsa a afirmação de que

a² - b² ≥ (a - b)⁴

 

Alternativa B