Questão 9

IME 2012

Matemática

[IME - 2012/2013 - 1a fase]

Seja o número complexo , onde a e b são números reais positivos e . Sabendo que o módulo e o argumento de z valem, respectivamente, 1 e (–π)rad, o valor de a é

Gabarito:

Resolução:

Como o módulo do complexo z é 1, o argumento dele será $-pi$ .

Temos z = - 1, e portanto:

$z = frac{a}{ib(1+ib)^{2}}=-1$

$a = -ib (1+ib)^{2}$

$ai = b(1-b^{2}+2bi)$

Portanto, pela igualdade de complexos:

$a = 2b^{2}$

$0 = b(1-b^{2})$

Então, seja b diferente de zero,:

$1-b^{2} = 0$

$b^{2} = 1 Rightarrow a = 2$

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