Questão 10

IME 2012

Matemática

(IME - 2012/2013)

Entre os números 3 e 192 insere-se igual número de termos de uma progressão aritmética e de uma progressão geométrica com razões r e q, respectivamente, onde r e q são números inteiros. O número 3 e o número 192 participam destas duas progressões. Sabe-se que o terceiro termo de , em potências crescentes de , é .O segundo termo da progressão aritmética é

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Gabarito:

Resolução:

Utilizando conhecimentos acerca do Binômio de Newton, o terceiro termo de $egin{pmatrix} 1+frac{1}{q} end{pmatrix}^8$ , em potências crescentes de $frac{1}{q}$ , responde à fórmula:

$T_{p+1}=egin{pmatrix} n & p end{pmatrix}a^{n-p}cdot b^p$

Logo,

$T_3=T_{2+1}=egin{pmatrix} 8 & 2 end{pmatrix}1^{6}cdot egin{pmatrix} frac{1}{q} end{pmatrix}^2$

$T_3=frac{8!}{2!cdot 6!}cdot frac{1}{q^2}$

$T_3= frac{28}{q^2}$

Do enunciado, $T_3= frac{r}{9q}$ . Então, $frac{28}{q^2}=frac{r}{9q}$ → $r cdot q =28 cdot 9=252$ (i)

Seja $a_n$ o termo geral da progressão aritmética. Sabe-se que $a_1=3$ e $a_n=192$ . Assim:

$a_n=a_1+r(n-1)$

$192=3+r(n-1)$

$r(n-1)=189$ (ii)

Seja $b_n$ o termo geral da progressão geométrica. Sabe-se que $b_1=3$ e $b_n=192$ . Então, $b_n=a_1cdot q^{n-1}$ → $192=3cdot q^{n-1}$ → $q^{n-1}=64$