Questão 10

IME 2012

Matemática

[IME- 2012/2013 - 2ª fase]

Considere a seguinte definição:

“dois pontos P e Q, de coordenadas $(x_{P},y_{P})$ e $(x_{q},y_{q})$ , respectivamente, possuem coordenadas em comum se e somente se $x_{P}=x_{q} ou y_{P}=y_{q}$ ”

Dado o conjunto S = {(0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2)}. Determine quantas funções bijetoras f: S→ S existem, tais que para todos os pontos P e Q pertencentes ao conjunto S, f(P) e f(Q) possuem coordenadas em comum se e somente se P e Q possuem coordenadas em comum.

Gabarito:

Resolução:

Representando os nove pontos do conjunto S no plano cartesiano, obtemos:

Deve-se começar escolhendo um elemento qualquer de S. Nesse caso, escolheremos o ponto (0,0) e iniciar a pensar qual a imagem desse ponto pela função f.

Nesse caso, temos 9 possibilidades.

Imagine o seguinte exemplo:

Escolhendo o ponto da imagem como (2,1):

Analisando o ponto (1,0) vemos que por este ser um ponto que possui coordenada comum com (0,0), sua imagem também deverá possuir coordenada em comum com a imagem de (0,0), ou seja, sua imagem deve estar na mesma linha ou mesma coluna que a imagem de (0,0). Para isso, temos 4 possibilidades.

Agora, suponha a escolha do ponto (0,1), tal que:

Pensemos acerca da imagem do ponto (2,0). Essa imagem deve possuir coordenada comum com a imagem do ponto (1,0) e também coordenada comum com a imagem de (0,0). A única maneira de estar nos conformes dessas duas restrições é colocar essa imagem na linha ou coluna determinada pelas duas outras imagens.

Assim, no caso do exemplo que estamos trabalhando, teria que ser o ponto (1,1):

Analisando, ainda, a imagem do ponto (0,1) percebemos que esta tem a mesma coordenada do ponto (0,0) e, portanto, sua imagem deve estar na mesma linha ou coluna que a imagem de (0,0). É perceptível que restam apenas duas opções, na linha ou coluna que não foi preenchida, resultando em 2 possibilidades.

Agora, escolhamos o ponto (2,0):

De forma imediata percebemos que sobra apenas uma possibilidade para a imagem do ponto (0,2), isto é, (2,2).

Acerca da imagem do ponto (1,1), vê-se que ele tem uma coordenada em comum com dois pontos: (1,0) e (0,1) e sua imagem deve estar na mesma linha ou coluna do ponto (1,0) e também na mesma linha ou coluna do ponto (0,1). Essas duas condições juntas fazem com que exista apenas uma possibilidade para a imagem de (1,1), e, no nosso caso, precisa ser o ponto (0,0):