Questão 7
IME 2012
[IME- 2012/2013 - 2ª fase]
Considere um círculo com centro C, na origem, e raio 2. Esse círculo intercepta o eixo das abscissas nos pontos A e B, sendo a abscissa de A menor do que a abscissa de B. Considere P e Q, dois pontos desse círculo, com ordenadas maiores ou iguais a zero. O ângulo formado entre o segmento CP e CQ vale /3 rad. Determine a equação do lugar geométrico descrito pelo ponto de interseção dos segmentos AP e BQ internos ao círculo.
Gabarito:
Resolução:
Comecemos fazendo uma figura do problema:
Queremos então saber o LG de C. Seja β o ângulo ABQ e γ o ângulo BAP, sabemos então pela relação com ângulo central que QOA=2β, POB=2γ. sabe-se ainda que:
2β+2γ+60°=180° => β+γ=60° => ACB=120°independente da posição de P, logo pela construção de arco capaz já sabemos que o LG de C é um arco de circunferência que passa por A e B, basta agora encontrar o seu centro. Como passa por A e B deve estar contido na mediatriz do segmento AB, portanto sobre o eixo y. Seja D a interseção da circunferência que passa por ABC e o eixo y:
Sabe-se que em um quadrilátero inscritível a soma dos ângulos opostos deve ser 180° => ACB+ADB=180° => ADB=60° => ABD é equilátero, então o centro da circunferência procurada será o centro deste triângulo também, que sabemos se encontrar em 1/3 de sua altura. Como AB=4 é o lado do triângulo, sua altura será 2√3, e então seu centro estará em -2√3/3 e seu raio será 4√3/3. Montando a equação da circunferência:
RESPOSTA: Um arco de 120° de x2 + (y + 2/3)2 = 16/3, compreendido entre os pontos A e B.