Questão 14

IME 2012

Matemática

[IME - 2012/2013 - 1a fase]

Considere a figura abaixo formada por arcos de circunferência tangentes cujos centros formam um pentágono regular inscritível em uma circunferência de raio R. O perímetro da figura é:

Gabarito:

Resolução:

Sabemos que: $L_{5} = frac{Rsqrt{10-2sqrt{5}}}{2}$

$2pi R = 2pi cdot frac{L_{5}}{2} = L_{5} cdot pi$

Fazemos uma regra de três. $L_{5} cdot pi$ está para 360º assim como x está para 252º (replemento de 108º):

$frac{pi cdot L_{5}}{x} = frac{360^{circ}}{252^{circ}}$

$x = frac{7}{10} pi L_{5}$

Como temos um pentágono, fazemos 5x:

$5x = 5frac{7}{10} pi L_{5} = frac{7pi}{2} cdot L_{5}$

Assim:

$5x = frac{7pi}{2} cdot frac{Rsqrt{10-2sqrt{5}}}{2} = frac{7pi Rsqrt{10-2sqrt{5}}}{4}$

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