Questão 12

IME 2012

Matemática

[IME - 2012/2013 - 1a fase]

Considere uma haste AB de comprimento 10 m. Seja um ponto P localizado nesta haste a 7 m da extremidade A. A posição inicial desta haste é horizontal sobre o semieixo x positivo, com a extremidade A localizada na origem do plano cartesiano. A haste se desloca de forma que a extremidade A percorra o eixo y, no sentido positivo, e a extremidade B percorra o eixo x, no sentido negativo, até que a extremidade B esteja sobre a origem do plano cartesiano. A equação do lugar geométrico, no primeiro quadrante, traçado pelo ponto P ao ocorrer o deslocamento descrito é

Gabarito:

Resolução:

Portanto, conforme A se desloca ao longo do eixo y, t varia entre 0 e 10. É necessário calcular as coordenadas de P em função de t.

Pela semelhança dos triângulos:

$frac{3}{y_{p}} = frac{10}{OA} Rightarrow y_{p} = frac{3OA}{10}$

$frac{7}{x_{p}} = frac{10}{OB} Rightarrow x_{p} = frac{7OB}{10}$

Temos que OA = t. Para calcular OB utilizamos Pitágoras:

$OB^{2} = 10^{2}-t^{2}$

$OB = sqrt{100^{2}-t^{2}}$

As coordenadas paramétricas do lugar geométrico seraõ:

$y_{p} = frac{3t}{10}$
$x_{p} = frac{7sqrt{100-t^{2}}}{10}$

Assim:

$t = frac{10y_{p}}{3}$
$x_{p}^{2} = frac{49}{100} (100-t^{2})$

$x_{p}^{2} = frac{49}{100}(100 - frac{100y_{p}^{2}}{9}) = 49(1-frac{y_{p}^{2}}{9})$

$9x_{p}^{2} = 441 - 49y_{p}^{2}$

$9x^{2} +49y^{2}-441 = 0$

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