Questão 8

IME 2011

Matemática

[IME - 2011/2012 - 1ª FASE] Os triângulos ABC e DEF são equiláteros com lados iguais a m. A área da figura FHCG é igual à metade da área da figura ABHFG. Determine a equação da elipse de centro na origem e eixos formados pelos segmentos FC e GH.

Gabarito:

Resolução:

Observe que os triângulo ABC e GHC são semelhantes, seja k essa razão de semelhança, desta forma temos:

$AB=kcdot GH$

o enunciado ainda fornece:

$[ABHFG]=2[FHCG]\\Rightarrow [ABHFG]+[FHCG]=3[FHCG]\\Rightarrow [ABC]=6cdot[GHC]$

usando agora a razão de semelhança podemos encontrar o valor de k, mas lembre-se que se a razão entre os lados for k, a razão entre as áreas será k²:

$[ABC]=6cdot[GHC]=k^2[GHC]\\Rightarrow k=sqrt{6}$

os semi-eixos da elipse serão portanto metade do segmento GH e a altura do triângulo GHC:

$egin{cases} b=frac{m}{2sqrt{6}}\ a=frac{m}{sqrt{6}}cdotfrac{sqrt{3}}{2}=frac{m}{2sqrt{2}} end{cases}$

a equação da elipse será:

$left(frac{x}{a} ight )^2+left(frac{y}{b} ight )^2=1\\Rightarrow frac{x^2}{left(frac{m}{2sqrt{2}} ight )^2} +frac{y}{left(frac{m}{2sqrt{3}} ight )^2}=1\\Rightarrow frac{x^2}{frac{m^2}{8}} +frac{y^2}{frac{m^2}{24}}=1\\Rightarrow 8x^2+24y^2-m^2=0$

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