Questão 2

IME 2011

Matemática

[IME - 2011/2012 - 1ª FASE] São dadas as matrizes quadradas inversíveis A, B e C, de ordem 3. Sabe-se que o determinante de C vale $(4-x)$ , onde x é um número real, o determinante da matriz inversa de B vale $-frac{1}{3}$ e que $(CA^{t})^{t}=P^{-1}BP$ onde P é uma matriz inversível. Sabendo que $A=egin{pmatrix} 0 & 0&1 \ 3& x & 0\ 1&0 &0 end{pmatrix}$ , determine os possíveis valores de x.

Obs.: $(M)^{t}$ é a matriz transposta de M.

– 1 e 3

1 e – 3

2 e 3

1 e 3

– 2 e – 3

Gabarito: 1 e 3

Resolução:

Por expansão de Laplace, em A:

$0 cdot cofactor(a_{11}) + 0 cdot cofactor(a_{12}) + 1 cdot (-1)^{1+3}egin{vmatrix} 3 &x \ 1 & 0 end{vmatrix} = -x$

Temos que:

$det B^{-1} = frac{1}{det B}$

$-frac{1}{3} = frac{1}{detB}$

$detB = -3$

Se $(C cdot A^{t})^{t} = P^{-1} cdot B cdot P$ , então:

$det(C cdot A^{t})^{t} = det(P^{-1} cdot B cdot P)$

$det (C cdot A^{t}) = det P^{-1} cdot detB cdot detP$

$det C cdot det A^{t} = det B$

$(4-x)cdot detA = -3$

$(-x) cdot (4-x) = -3$

$x^{2} -4x + 3 = 0 Rightarrow oxed{x = 1 ou x = 3}$

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