Questão 7

IME 2011

Matemática

[IME - 2011/2012 - 1ª FASE] Uma pirâmide regular possui como base um dodecágono de aresta a. As faces laterais fazem um ângulo de 15° com o plano da base. Determine o volume desta pirâmide em função de a.

A

.

B

.

C

D

.

E

.

Gabarito:

.

Resolução:

1) O volume da pirâmide corresponde a um terço do volume de um prisma de mesma altura e base. Portanto, a expressão matemática utilizada no cálculo do volume da pirâmide é:

$V = frac{A_b cdot h}{3}$

2) Primeiramente temos que calcular a área da base.

3) Podemos dividir o dodecágono em 12 triângulos idênticos e com isso, calcular o valor de $h_1$ em relação a $a$ .

$an (15^circ)=frac{frac{a}{2}}{h_1}$

$h_1=frac{a}{2 an (15^circ)}$

4) Com isso, temos que calcular a tangente de 15º.

$an (15^circ)= an left(frac{30^{circ :}}{2} ight)$

4.1) Como $an left(frac{x}{2} ight)=sqrt{frac{1-cos left(x ight)}{1+cos left(x ight)}}$

$an (15^circ)=sqrt{frac{1-cos left(30^{circ :} ight)}{1+cos left(30^{circ :} ight)}}$

4.2) Desenvolvendo:

$an (15^circ)=sqrt{frac{1-frac{sqrt{3}}{2}}{1+frac{sqrt{3}}{2}}}$

$an (15^circ)=sqrt{7-4sqrt{3}}$

$an (15^circ)=2-sqrt{3}$

5) Com isso,

$h_1=frac{a}{4-2sqrt{3}}$

6) A área de um dos triângulos é

$A=frac{frac{a}{4-2sqrt{3}} cdot a}{2} =frac{left(2+sqrt{3} ight)a^2}{4}$

7) Com isso, a área da base será

$A_t=12 cdot frac{left(2+sqrt{3} ight)a^2}{4} = 3left(2+sqrt{3} ight)a^2$

8) Com isso, podemos encontrar a altura da pirâmide (via trigonometria):

$an(15^circ)=frac{h}{h_1}$

$h=h_1 cdot an(15^circ)$

$h=frac{a}{4-2sqrt{3}} cdot (2-sqrt{3}) = frac{a}{2}$

8) Logo, o volume será

$V = frac{3left(2+sqrt{3} ight)a^2 cdot frac{a}{2}}{3}$

$V = frac{left(2+sqrt{3} ight)a^3}{2}$

9) Porém a resposta não está dessa forma, porém racionalizando a resposta na alternativa a, podemos ver que são equivalentes.

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