Questão 10
IME 2011
[IME- 2011/2012 - 2ª fase]
Os nove elementos de uma matriz M quadrada de ordem 3 são preenchidos aleatoriamente com os números 1 ou –1, com a mesma probabilidade de ocorrência. Determine:
a) o maior valor possível para o determinante de M;
b) a probabilidade de que o determinante de M tenha este valor máximo.
Gabarito:
Resolução:
a) O determinante pode ser dado por:
Cada termo desses vale +1 ou -1.
O determinante pode valer 4, por exemplo:
De forma análoga é impossível que esse determinante resulte em 6.
Isso porque teríamos que:
- aei = 1
- bfg = 1
- cdh = 1
Tal que: abcdefghi = 1
Analogamente:
- gec = -1
- hfa = -1
- idb = 1
Tal que: abcdefghi = -1, o que é absurdo.
O resultado igual a 5 também é impossível porque qualquer termo da soma sendo igual a -1, nos dará um máximo igual a 4.
b) Se considerarmos (x,y,z) as coordenadas de um ponto cujos valores valem -1 ou 1, temos 8 pontos possíveis que satisfazem a condição. A representação desses pontos nas coordenadas cartesianas é um cubo de centro na origem (8 vértices).
Para essa afirmativa devemos analisar o total de modos que temos para escolher os três pontos e consequentemente as três linhas do determinante. Será dado por:
8³ = 512 modos. Os casos do determinante nulo são:
- os três vértices escolhidos são iguais. 8 possibilidades.
- dois vértices escolhidos são iguais e um é diferentes. Nesse caso, temos um total de 8 x 7 x 3 = 168 possibilidades;
- os três vértices escolhidos são diferentes. Nesse caso o determinante será nulo se os dois vérticos forem colineares com a origem, o que é dado por 6 x C4,3 x 3! = 144.P
ortanto, o total de casos é com determinante nulo é 8 + 168 + 144 = 320. Temos então que 512 - 320 = 192 casos tem determinante igual a 4 ou igual a -4. Disso, temos que 192/2 = 96 desses casos terão determinante igual a 4, tal que a probabilidade do determinante ser máximo é dada por 96/512 = 3/16.