Questão 8

IME 2011

Matemática

[IME- 2011/2012 - 2ª fase]

Calcule as raízes de f(x) em função de a,b e c, sendo a,b,c e x ∈ IR (real) e $f(x)=egin{vmatrix} x &a &b &c \ a &x & c &b \ b& c& x &a \ c &b &a &x end{vmatrix}$ .

Gabarito:

Resolução:

O determinante é $egin{vmatrix} x & a& b& c\ a& x & c & b\ b & c & x& a\ c & b& a& x end{vmatrix}$ .

Vamos, primeiramente, subtrair a primeira coluna pela segunda, a segunda pela terceira, e a terceira pela quarta:

$egin{vmatrix} x & a& b& c\ a& x & c & b\ b & c & x& a\ c & b& a& x end{vmatrix}=egin{vmatrix} x -a& a-b& b-c& c\ a-x& x-c & c-b & b\ b-c & c-x & x-a& a\ c-b & b-a& a-x& x end{vmatrix}$

Agora vamos somar a segunda linha com a primeira linha e somar a terceira linha com a quarta linha:

$egin{vmatrix} x -a& a-b& b-c& c\ a-x& x-c & c-b & b\ b-c & c-x & x-a& a\ c-b & b-a& a-x& x end{vmatrix}=egin{vmatrix} x -a& a-b& b-c& c\ 0& x+a-b-c & 0 & b+c\ 0 & b+c-a-x & 0& x+a\ c-b & b-a& a-x& x end{vmatrix}$

Vamos somar a segunda linha com a terceira linha:

$egin{vmatrix} x -a& a-b& b-c& c\ 0& x+a-b-c & 0 & b+c\ 0 & b+c-a-x & 0& x+a\ c-b & b-a& a-x& x end{vmatrix}=egin{vmatrix} x -a& a-b& b-c& c\ 0& 0 & 0 & x+a+b+c\ 0 & b+c-a-x & 0& x+a\ c-b & b-a& a-x& x end{vmatrix}$

Temos, agora, uma linha quase toda com zeros, apenas um elemento diferente de zero. Façamos Laplace nessa linha:

$egin{vmatrix} x -a& a-b& b-c& c\ 0& 0 & 0 & x+a+b+c\ 0 & b+c-a-x & 0& x+a\ c-b & b-a& a-x& x end{vmatrix}=\\ left(x+a+b+c ight )cdotleft(-1 ight )^{2+4}cdotegin{vmatrix} x-a & a-b &b-c \ 0&-x-a+b+c &0 \ c-b & b-a &a-x end{vmatrix}=\\ left(x+a+b+c ight )cdotegin{vmatrix} x-a & a-b &b-c \ 0&-x-a+b+c &0 \ c-b & b-a &a-x end{vmatrix}$

Vamos resolver agora o determinante 3x3 do modo tradicional:

$left(x+a+b+c ight )cdotegin{vmatrix} x-a & a-b &b-c \ 0&-x-a+b+c &0 \ c-b & b-a &a-x end{vmatrix}=\\ left(x+a+b+c ight )cdotleft[left(x-a ight )cdotleft(-x-a+b+c ight )cdotleft(a-x ight )-left(b-c ight )cdotleft(-x-a+b+c ight )cdotleft(c-b ight ) ight ]\\ =left(x+a+b+c ight )cdotleft(-x-a+b+c ight )cdotleft[left(x-a ight )left(a-x ight ) -left(b-c ight )left(c-b ight ) ight ]=\\ =left(x+a+b+c ight )cdotleft(-x-a+b+c ight )cdotleft(-x^2+2ax-a^2+b^2-2bc+c^2 ight )$

Então nós temos que a expressão

$left(x+a+b+c ight )cdotleft(-x-a+b+c ight )cdotleft(-x^2+2ax-a^2+b^2-2bc+c^2 ight )$ é igual a zero. Duas soluções fáceis que podemos extrair disto é $x=-a-b-c$ e $x=-a+b+c$ de $left(x+a+b+c ight )$ e $left(-x-a+b+c ight )$ , respectivamente, na expressão $left(x+a+b+c ight )cdotleft(-x-a+b+c ight )cdotleft(-x^2+2ax-a^2+b^2-2bc+c^2 ight )=0$ .

Agora só nos falta extrair as raízes para $-x^2+2ax-a^2+b^2-2bc+c^2 =0$ :

$x^2-2ax-left(-a^2+b^2-2bc+c^2 ight )=0\\ Delta=4a^2+4cdotleft(left(b-c ight )^2-a^2 ight )=4cdotleft(b-c ight )^2Rightarrow sqrt{Delta}=2cdotleft(b-c ight )\\ x=frac{2apmsqrt{Delta}}{2}=frac{2apm2left(b-c ight )}{2}=apmleft(b-c ight )Rightarrow \\Rightarrow x=a+b-c,,ou,,x=a+c-b$

Agora obtemos as 4 soluções possíveis:

$x=-a-b-c=-left(a+b+c ight )$
$x=-a+b+c$
$x=a+c-b=a-b+c$
$x=a+b-c$

RESPOSTA: -(a + b + c); -a + b + c; a - b + c; a + b - c;

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