Questão 4

IME 2011

Matemática

[IME- 2011/2012 - 2ª fase]

Seja o número complexo Z = a + bi, com a e b ∈ IR (real) e $i=sqrt{-1}.$ Determine o módulo de Z sabendo que $left{egin{matrix} a^{3}=3(a+ab^{2}) \ b^{3}=3(a^{2}b-1) end{matrix} ight.$ .

Gabarito:

Resolução:

Observando o sistema:

$left{egin{matrix} a^{3} -&3ab^{2} = & 3\ b^{3} - & 3^{2}b =&-3 end{matrix} ight.$

Sabemos que o complexo Z é dado por Z = a + b. Elevando Z ao cubo:

$Z^{3} = (a+bi)^{3} = a^{3}-3ab^{2} + i (-b^{3}+3a^{2}b)$

Pelos dados do sistema:

$(a+bi)^{3} = 3 + 3i$

Dessa forma:

$|Z^{3}| = sqrt{3^{2}+2^{2}} = sqrt{18}$

$|Z| = sqrt[6]{18}$

Questões relacionadas

Questão 2

[IME - 2011/2012 - 1ª FASE] São dadas as matrizes quadradas inversíveis A, B e C, de ordem 3. Sabe-se que o determinante de C vale , onde x é um número real, o determi...

Ver questão

Questão 1168

[IME - 2011/2012 - 1ª FASE] São dados os pontos P0 e P1 distantes 1 cm entre si. A partir destes dois pontos são obtidos os demais pontos Pn , para todo n inteiro mai...

Ver questão

Questão 6

[IME - 2011/2012 - 1ª FASE] As raízes cúbicas da unidade, no conjunto dos números complexos, são representadas por 1, w e w2, onde w é um número com...

Ver questão

Questão 9

[IME - 2011/2012 - 1ª FASE] O valor de é:

Ver questão