Questão 3

IME 2011

Matemática

[IME- 2011/2012 - 2ª fase]

Os ângulos de um triângulo obtusângulo são 105º, α e β. Sabendo que m∈ IR (real), determine:

a) as raízes da equação $3 secx + m(sqrt{3} cosx-3senx)=3cosx+sqrt{3}senx$ , em função de m;

b) o valor de m para que α e β sejam raízes dessa equação.

Gabarito:

Resolução:

a) $3 sec x + m(sqrt{3}cosx-3senx) = 3cosx + sqrt{3}sen x$

$m(sqrt{3}cosx - 3senx) = 3cosx - frac{3}{cosx}+sqrt{3}senx$

$m(sqrt{3}cosx - 3senx) = frac{3(cos^{2}x -1)}{cosx} + sqrt{3}senx$

$m(sqrt{3}cosx - 3senx) = frac{-3sen^{2}x}{cosx}+sqrt{3}senx$

$m(sqrt{3}cosx - 3senx) = frac{senx}{cosx}(sqrt{3}cosx - 3sen x)$

$(frac{senx}{cosx}-m)(sqrt{3}cosx - 3senx) = 0$

Portanto:

$tgx = m ou tgx = frac{sqrt{3}}{3}$

$x = arctan(m)+ 180^{circ}k$

$c = 30^{circ} + 180^{circ}k$

b) Para que as raízes da equação acima sejam ângulos do triângulo, um deles deve valer 30º. Aplicando $alpha =30 ^{circ}$

$eta = 180^{circ} - (105^{circ}+30^{circ}) = 45 ^{circ}$

Logo:

$45^{circ} = arctan(m)$

$m =1$

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