Questão 2

IME 2011

Matemática

[IME- 2011/2012 - 2ª fase]

Os números reais positivos $x_{1}, x_{2} e x_{3}$ são raízes da equação $x^{3}-ax^{2}=a^{b}-frac{b}{2}x,$ sendo b∈ IN (natural), a∈ IR (real) e a ≠ 1. Determine, em função de a e b, o valor de $log_{a} [ x_{1}x_{2} x_{3}(x_{1}+x_{2}+ x_{3})x_{1}^{2}x_{2}^{2} x_{3}^2]^{b}$ .

Gabarito:

Resolução:

Escrevendo a equação:

$x^{3}-ax^{2}+frac{b}{2}x - a^{b} = 0$

Aplicando as relações de Girard:

$x_{1} + x_{2} +x_{3} = a$
$x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3} +x_{2}x_{3} = frac{b}{2}$
$x_{1}x_{2}x_{3} = a^{b}$

Seja L o valor do logaritmo:

$L = log_{a}[x_{1}x_{2}x_{3}(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}]^{b}$

$L = b [log_{a}(x_{1}x_{2}x_{3}+(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})cdot log_{a}(x_{1}+x_{2}+x_{3}))]$

Sabendo que:

$(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2} = x_{1}^{2} + x_{2}^{2}+x_{3}^{2} + 2(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})$

Concluí-se que: $x_{1}^{2}+x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = a^{2}-b$

Assim:

$L = b [log_{a}(x_{1}x_{2}x_{3}+(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}) cdot log_{a}(x_{1}+x_{2}+x_{3}))]$

$L = b [log_{a}a^{b} + (a^{2}-b)log_{a}a]= b(b+a^{2}-b) = a^{2}b$

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