Questão 15
IME 2011
QUESTÃO ANULADA!
[IME - 2011/2012 - 1ª FASE] Seja F o conjunto cujos elementos são os valores de n!, onde n é um número natural. Se G é subconjunto de F que não contém elementos que são múltiplos de 27.209, determine o número de elementos do conjunto G.
a) 6.
b) 12.
c) 15.
d) 22.
e) 25.
QUESTÃO ANULADA!
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Gabarito:
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Resolução:
Decompondo o número 27209 em seus fatores primos, é encontrado:
Precisamos encontrar o primeiro fatorial que contém todos esses fatores, dado que todos os fatoriais maiores que ele também serão múltiplos e não estarão no conjunto G.
→ O fator 7 já é encontrado a partir de 7!.
→ O segundo fator 13 é encontrado a partir de 26!.
→ O termo 23 aparece a partir de 23!
As três condições devem ser seguidas. Note então que o primeiro fatorial múltiplo de 27109 é 26!. Então os fatoriais de 1! a 25! não são múltiplos desse número.
Assim, o número máximo de elementos que G pode conter é 25.
Porém, o enunciado apenas deixou as condições para que os fatoriais de 26! para frente não estejam no conjunto. Mas quaisquer dos fatoriais de 1! a 25! podem estar ou não no conjunto G, uma vez que o enunciado não restringiu mais nada. Dessa forma, a questão foi ANULADA.