Questão 6

IME 2011

Matemática

[IME- 2011/2012 - 2ª fase]

É dada uma parábola de parâmetro p. Traça-se a corda focal MN, que possui uma inclinação de 60º em relação ao eixo de simetria da parábola. A projeção do ponto M sobre a diretriz é o ponto Q, e o prolongamento da corda MN intercepta a diretriz no ponto R. Determine o perímetro do triângulo MQR em função de p, sabendo que N encontra-se no interior do segmento MR.

Gabarito:

Resolução:

Por hipótese, montamos a figura:

Definindo o parâmetro da parábola como sendo a distância entre o foco (F) e a reta diretriz (d), temos três triângulos retângulos:

ΔMFF', ΔMRQ, ΔFRP.

Por trigonometria, no triângulo ΔFRP:

$sen30^0 = frac{p}{FR}$

$FR = 2$

Por pitágoras, no triângulo ΔFRP:

$PR = sqrt{3p}$

Como o quadrilátero PQF'F é um retângulo, podemos afirmar que FP = F'Q = p

Da definição de parábola, MQ = FM.

Chamando FM = x, temos que MQ = MF' + QF' = x

MF' = x

No ΔMFF', temos:

Por trigonometria

$sen30^0 = frac{MF}{MF} = frac{x-p}{x} = frac{1}{2}$

$x = 2p$

$MQ = 2p$

Por Pitágoras:

$Ff = sqrt{3p}$

$PQ = sqrt{3p}$

Então o perímetro de MQR vai ser:

$MQ + MR + QR = 2p + 4p + 2sqrt{3p} = 2p(3+sqrt3)$

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