Questão 10

IME 2011

Matemática

[IME - 2011/2012 - 1ª FASE] A equação da reta tangente à curva de equação $x^{2}+4y^{2}-100=0$ no ponto P(8,3) é:

2x + 3y – 25 = 0

x + y – 11 = 0

3x – 2y – 18 = 0

x + 2y – 14 = 0

3x + 2y – 30 = 0

Gabarito:

2x + 3y – 25 = 0

Resolução:

[ALTERNATIVA A]

Temos que:

$x^{2}+4y^{2}-100=0 Leftrightarrow x^{2}+4y^{2}=100$

Derivando ambos os membros dessa equação em relação a x, temos:

$2x+2 cdot 4y cdot frac{dy}{dx}=0 Leftrightarrow frac{dy}{dx}= -frac{x}{4y}$

Para o ponto P(8,3) pertencente à curva (elipse), obtemos o coeficiente angular m da reta tangente à curva nesse ponto:

$m = frac{dy}{dx}$ (para x = 8; y = 3)

$-frac{x}{4y}=-frac{8}{4 cdot 3}= -frac{2}{3}$

Assim, a equação da reta tangente será dada por:

$y-y_{P}=m cdot (x-x_{P}) Leftrightarrow y-3=(-frac{2}{3})cdot (x-8) Leftrightarrow 2x+3y-25=0$

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