Questão 22304

IME 2011

Matemática

[IME - 2011/2012 - 1ª FASE] Seja $arcsenX+arcsenY+arcsenZ= frac{3pi}{2}$ onde X, Y e Z são números reais pertencentes ao intervalo [–1,1]. Determine o valor de $X^{100}+Y^{100}+Z^{100}-frac{9}{X^{101}+Y^{101}+Z^{101}}$ .

–2

–1

Gabarito:

Resolução:

$arcsenalpha epsilon [frac{-pi}{2};frac{pi}{2}]$

Do enunciado:

$arcsenX+arcsenY+arcsenZ=frac{3pi}{2}$

Com as informações acima, podemos concluir que

$arcsenX=arcsenY=arcsenZ=frac{pi}{2} ightarrow X=Y=Z=1$

$X^{100}+Y^{100}+Z^{100}-frac{9}{X^{101}+Y^{101}+Z^{101}}Rightarrow 1+1+1-frac{9}{1+1+1}$

$3 - frac{9}{3}=0$ .

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