Questão 30

IME 2010

Física

[IME- 2010/2011 - 1a fase]

A água que alimenta um reservatório, inicialmente vazio, escoa por uma tubulação de 2 m de comprimento e seção reta circular. Percebe-se que uma escala no reservatório registra um volume de 36 L após 30 min de operação. Nota-se também que a temperatura na entrada da tubulação é 25 °C e a temperatura na saída é 57 °C. A água é aquecida por um dispositivo que fornece 16,8 kW para cada metro quadrado da superfície do tubo. Dessa forma, o diâmetro da tubulação, em mm, e a velocidade da água no interior do tubo, em cm/s, valem, respectivamente:

Dados:

π/4 = 0,8;
massa específica da água: 1 kg/L;
calor específico da água: 4200 J/ kg°C

2,5 e 40

25 e 4

25 e 40

2,5 e 4

25 e 0,4

Gabarito:

25 e 4

Resolução:

Em um intervalo de tempo $Delta t$ a quantidade de água, em massa, que entra é igual à $Delta m$ .

Pela equação de calor sensível, temos que:

$Q = Delta m c Delta T$

Ainda, sabemos que o calor pode ser obtido pela equação: $Q = P cdot Delta t$

Perceba, entretanto, que a potência é dada por unidade de área, portanto pra cada metro quadrado temos 16,8 kJ de energia:

$Q = 16,8 cdot 10^{3} cdot A cdot Delta t$

Ainda, a vazão pode ser facilmente obtida:

$Z = frac{Delta m}{Delta t} = frac{36}{30 cdot 60} = 0,02 kg/s$

Igualando as duas equações do calor:

$mc Delta T = 16,8 cdot 10^{3} cdot A cdot Delta t$

$A = frac{c cdot Delta T}{16,8 cdot 10^{3}} cdot Z$

$A = frac{4200 cdot 32}{16,8 cdot 10^{3}} cdot 0,02 Rightarrow A = 0,16 m^{2}$

Logo, pela geometria:

$2pi R cdot L = 0,16$

$2R = d = frac{0,16}{pi L} = 25 mm$

Para determinarmos a velocidade usaremos a vazão. Seja a vazão a derivada do volume pelo tempo:

$Z = frac{dV}{dt} = Area cdot frac{dx}{dt} = Area cdot v$

$v = frac{Z}{Area} = frac{0,02 cdot 10^{-3}}{pi R^{2}}$

$v = 4 cm/s$

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