Questão 5

IME 2008

Física

(IME - 2008/2009) Os pontos A e B da malha de resistores da figura 2 são conectados aos pontos x e y do circuito da figura 1. Nesta situação, observa-se uma dissipação de P watts na malha. Em seguida, conecta-se o ponto C ao ponto F e o ponto E ao ponto H, o que produz um incremento de 12,5% na potência dissipada na malha. Calcule a resistência R dos resistores da malha.

Gabarito:

Resolução:

Inicialmente é necessário calcular as resistências equivalentes para depois conectar os pontos.

Note que o esquema da figura 2 equivale a 2 resistores de 4R conectados em paralelo e, portanto, equivale, como uma todo, a um resistor de 2 R.

Ao conectar os pontos, tem-se:

Note que trata-se de uma ponte de Wheatstone equilibrada. Por isso, a resistência central pode ser ignorada. Então a resistência equivalente é: $R_{eq} = 2R // 2R = R$

A relação das potências dissipadas nas situações antes (1) e depois (2) da conexão é

$P_{diss}=R_{eq}i^2\P_2=1,125P_1\(2R)i_0^2=P (I)\Ri_1^2=frac{9P}{8} (II)$

Dividindo I por II:

$frac{2i_0^2}{i_1^2}=frac{8}{9}Rightarrow frac{i_0^2}{i_1^2}=frac{4}{9}Rightarrow frac{i_0}{i_1}=frac{2}{3} (III)$

Quando C é ligado a F e E ligado a H:

E a ddp entre os pontos X e Y pode ser escrita como:

$U_{xy1}=10,5-2,5i_{A1}(IV)\U_{xy1}=8-10i_{B1}(V)\U_{xy1}=Ri_1(VI)$

Sendo a corrente total $i_1=i_{A1}+i_{B1}(VII)$

Calculando agora 4x(IV)+(V):

$4U_{xy1}+U_{xy1}=42-10i_{A1}+8-10i_{B1}\5U_{xy1}=50-10(i_A1+i_{B1})$

Substituindo (VII) nesta equação acima:

$U_{xy1}=10-2i_1(VIII)$

Substituindo (VIII) em (VI):

$10-2i_{1}=Ri_1 Rightarrow i_1(2+R)=10(IX)$

Voltando a analisar o caso inicial, a dd entre os pontos X e Y é:

$U_{XY0}=10,5-2,5i_{A0}(X)\U_{XY0}=8-10i_{B0}(XI)\U_{XY0}=2Ri_0(XII)$

Analogamente ao caso anterior:

$U_{XY0}=10,5-2i_0Rightarrow 2i_0(1+R)=10(XIII)$

Dividindo XIII por IX:

$frac{2i_0(1+R)}{i_1(2+R)}=frac{10}{10}=1\\2frac{i_0}{i_1}(1+R)=2+R$

Substituindo III nesta acima:

$2frac{2}{3}(1+R)=2+RRightarrow 4+4R=6+3RRightarrow R=2Omega$

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