Questão 4

IME 2007

Matemática

(IME - 2007/2008) Uma seqüência de quatro termos forma uma PG. Subtraindo-se 2 do primeiro termo e k do quarto termo, transforma-se a seqüência original em uma PA. Uma terceira seqüência é obtida somando-se os termos correspondentes da PG e da PA. Finalmente, uma quarta seqüência, uma nova PA, é obtida a partir da terceira seqüência, subtraindo-se 2 do terceiro termo e sete do quarto. Determine os termos da PG original.

Gabarito:

Resolução:

1° sequência: $(a,aq,aq^2,aq^3)$ ⇒ PG

2° sequência: $(a-2,aq,aq^2,aq^3-k)$ ⇒ PA

3° sequência: $(2a-2,2aq,2aq^2,2aq^3-k)$

4° sequência: $(2a-2,2aq,2aq^2-2,2aq^3-k-7)$ ⇒ PA

A segunda sequência é uma PA:

$a^3q-k-aq^2=aq^2-aq=aq-a+2$

• $aq^3=2aq^2+k-aq$ (1)

• $aq^2=2aq+2-a$ (2)

A quarta sequência é uma PA:

$2aq^3-k-7-2aq^2+2=2aq^2-2-2aq=2aq-2a+2$

• $2aq^3=4aq^2-2aq+3+k$ (3)

• $2aq^2=4aq-2a+4$ (4)

Igualando as equações (1) e (3):

⇒ $2aq^3=4aq^2+2k-2aq=4aq^2-2aq+3+k$

$2k=3+k$

$k=3$

Multiplicando (2) por q e igualando a (1):

$2q=k$

$q=frac{3}{2}$

Substituindo esse valor na equação acima:

Substituindo os valores em (2):

$aq^2=2aq+2-a$

$frac{9a}{4}=3a+2-a$

$9a=8a+8$

$a=8$

Assim, a PG original é: $(a,aq,aq^2,aq^3)$ .

⇒ $left ( 8,12, 18,27 ight )$

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