Questão 1

IME 2007

Matemática

(IME - 2007/2008) Determine o conjunto-solução da equação:

$sen^3x+cos^3x=1-sen^2xcdot cos^2x$

Gabarito:

Resolução:

Lembrando das fatorações clássicas: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ e $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

$sen^3x+cos^3x=1-sen^2xcdot cos^2x$

$ightarrow$ $(senx+cosx)(sen^2x-senxcdot cosx+cos^2x)=(1+senxcdot cosx)(1-senxcdot cosx)$

$ightarrow(senx+cosx)(1-senxcdot cosx)=(1+senxcdot cosx)(1-senxcdot cosx)$

$ightarrow(senx+cosx-1-senxcdot cosx)(1-senxcdot cosx)=0$

Para que o produto dê zero, um dos fatores deve ser igual a zero. Logo:

I) $1-senxcdot cosx=0 ightarrow1-frac{sen2x}{2}= ightarrow sen2x=2 herefore exists xinmathbb{R}$

II) $senx+cosx-1-senxcdot cosx=0 ightarrow (senx-1)(1-cosx)=0$

$herefore senx=1Rightarrow x= frac{pi}{2}+2kpi, kinmathbb{Z}$ ou $cosx=1Rightarrow x= 2kpi, kinmathbb{Z}$

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