Questão 2

IME 2007

Matemática

(IME - 2007/2008) Encontre o polinômio P(x) tal que $Q(x) + 1 = (x-1)^3cdot;P(X)$ e $Q(x) + 2$ é divisível por $x^4$ , onde Q(x) é um polinômio do 6º grau.

Gabarito:

Resolução:

1) Se $Q(x) + 1 = (x-1)^3cdot;P(X)$ e Q(x) é um polinômio do 6º grau, então P(x) é um polinômio de grau 3.

$Q(x)+1=(x^3-3x^2+3x-1)(ax^3+bx^2+cx+d)$

$Q(x)+1=ax^6+(b-3a)x^5+(3a-3b+c)x^4+(3b-a-3c+d)x^3+(3c-3d-b)x^2+(3d-c)x-d$

$Q(x)+2=ax^6+(b-3a)x^5+(3a-3b+c)x^4+(3b-a-3c+d)x^3+(3c-3d-b)x^2+(3d-c)x-d+1$

2) Se $Q(x) + 2$ é divisível por $x^4$ e Q(x), então:

$Q(x)+2=x^4cdot q(x)$

Logo, podemos eliminar os coeficientes dos termos de grau menor que 4.

$Q(x)+2=ax^6+(b-3a)x^5+(3a-3b+c)x^4+(3b-a-3c+d)x^3+(3c-3d-b)x^2+(3d-c)x-d+1$

$left{egin{matrix} -d+1=0\ 3c-3d-b=0 \ 3b-a-3c+d=0 \ 3a-3b+c=0 end{matrix} ight.$

Resolvendo o sistema, chegamos nos valores: $d=1$ , $c=3$ , $b=6$ e $a=10$ .

Assim, $P(x)=10x^3+6x^2+3x+1$ .

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