Questão 14

IME 2007

Matemática

(IME - 2007/2008) Seja a_i um dos termos da progressão geométrica com oito elementos (2,1,1/2, 1/4, ...), e $S = log_{2}a_{1} + log_{2}a_{2} + cdots + log_{2}a_{8}$ .

Se $b = frac{S}{-5}$ e $f(x) = | x+2b| + |2x-b|$ , o valor de f(1) será:

-7

-11

Gabarito:

Resolução:

1) Organizando:

$S=log_{2}(2^1)+log_{2}(2^0)+...+log_{2}(2^{-6})$

2) Aplicando a propriedade: $log _cleft(a ight)+log _cleft(b ight)=log _cleft(ab ight)$

$S=log_{2}(2^1 cdot 2^0 cdot ... cdot 2^{-6})$

3) Aplicando a propriedade: $:a^bcdot :a^c=a^{b+c}$

$S=log_{2}(2^{1+0+...+(-6)})$

4) Usando soma de PA:

$S=log_{2}(2^{-20})$

5) Desenvolvendo:

$S=-20log _2left(2 ight)=-20$

6) Com isso, $b=frac{-20}{-5}=4$

7) Assim encontramos que

$f(x)=|x+2 cdot 4|+|2x-4|$

$f(x)=|x+8|+|2x-4|$

8) Por fim, o valor de f(1) será

$f(1)=|1+8|+|2-4|$

$f(1)=9+2=11$

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