Questão 10

IME 2007

Matemática

(IME - 2007/2008) Sejam L, D e U matrizes quadradas de ordem n cujos elementos da i-ésima linha e j-ésima coluna $l_{i,j} , d_{i,j}, e u_{i,j}$ , respectivamente são dados por:

$l_{i,j} = left{egin{matrix} frac{i^{2}}{i cdot j},& para igeq j \ 0, & para i<j end{matrix} ight.$

$d_{i,j} = left{egin{matrix} frac{i+1}{i },& para i= j \ 0, & para i eq j end{matrix} ight.$

$u_{i,j} = left{egin{matrix} frac{2i}{i + j },& para ileq j \ 0, & para i> j end{matrix} ight.$

O valor do determinante de A = LDU é igual a:

n+1

$frac{n+1}{n}$

Gabarito:

n+1

Resolução:

i) $det(L)=egin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & ... &0 \ 2 & 1 & 0 & ... &0 \ 3 & frac{3}{2} & 1 & ... &0 \ ... & ... & ... & ... & ...\ n & frac{n}{2} & frac{n}{3} & ... & 1 end{vmatrix}$

Aplicando Regra de Chió continuamente:

$det(L)=egin{vmatrix} 1 & 0 & ... & 0 \ frac{3}{2} & 1 &... &0\ ...&... & ... &... \ frac{n}{2}& frac{n}{3} & ... & 1 end{vmatrix}$

$det(L)=egin{vmatrix} 1 &... &0\ ... & ... &... \ frac{n}{3} & ... & 1 end{vmatrix}$

...

$det(L)=|1|=1$

ii) $det(D)=egin{vmatrix} 2 & 0 & 0 & ... & 0\ 0 & frac{3}{2} & 0 & ... &0 \ 0& 0 & frac{4}{3} & ... & 0\ ...& ...&... & ... &... \ 0&0 & 0 & ...& frac{n+1}{n} end{vmatrix}$

$det(D)=2 cdot egin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & ... & 0\ 0 & frac{3}{2} & 0 & ... &0 \ 0& 0 & frac{4}{3} & ... & 0\ ...& ...&... & ... &... \ 0&0 & 0 & ...& frac{n+1}{n} end{vmatrix}$

$det(D)=2 cdot egin{vmatrix} frac{3}{2} & 0 & ... &0 \ 0 & frac{4}{3} & ... & 0\ ...&... & ... &... \0 & 0 & ...& frac{n+1}{n} end{vmatrix}$

$det(D)=2 cdot frac{3}{2} cdotegin{vmatrix} 1 & 0 & ... &0 \ 0 & frac{4}{3} & ... & 0\ ...&... & ... &... \0 & 0 & ...& frac{n+1}{n} end{vmatrix}$

$det(D)=2 cdot frac{3}{2} cdotegin{vmatrix} frac{4}{3} & ... & 0\ ... & ... &... \ 0 & ...& frac{n+1}{n} end{vmatrix}$

...

$det(D)=2 cdot frac{3}{2} cdot (...) cdot frac{n+1}{n}$

$det(D)=n+1$

iii) $det(U)=egin{vmatrix} 1& frac{2}{3} & frac{2}{4} & ... & frac{2}{1+n}\ 0 & 1 & frac{4}{5} & ... & frac{4}{2+n}\ 0 & 0 & 1 & ... & frac{6}{3+n}\ ... & ... & ... & ... & ... \0 &0 & 0 & ... & 1\ end{vmatrix}$