Questão 3

IME 2007

Matemática

(IME - 2007/2008) Na figura seguinte ABCD é um quadrado de lado 1 e BCE é um triângulo eqüilátero. O valor de $tan(frac{alpha}{2})$ é igual a

A

$1 - frac{sqrt{3}}{2}$

B

$2 - frac{sqrt{6}}{2}$

C

$1 - frac{sqrt{3}}{3}$

D

$1 - frac{sqrt{2}}{5}$

E

$1 - frac{sqrt{3}}{5}$

Gabarito:

$1 - frac{sqrt{3}}{3}$

Resolução:

1) Por semelhança de triângulos:

$frac{a}{h}=frac{1}{sqrt{3}}$

$a=frac{h}{sqrt{3}}$

Só que $h=1-frac{sqrt{3}}2{}$ . Assim:

$a=frac{sqrt{3}}{3}-frac{1}{2}$

2) Novamente por semelhança de triângulos:

$frac{a}{c}=frac{frac{1}{2}}{1+c}$

$a+ac=frac{c}{2}$

$(frac{1}{2}-a)c=a$

$(1-frac{sqrt{3}}{3})c=frac{sqrt{3}}{3}-frac{1}{2}$

$(6-2sqrt{3})c=2 sqrt{3}-3$

$c=frac{2sqrt{3}-3}{6-2sqrt{3}}$

3) $c+1=frac{2sqrt{3}-3}{6-2sqrt{3}}+1=frac{3}{6-2sqrt{3}}$

$tan(frac{alpha}{2})=frac{frac{1}{2}}{frac{3}{6-2sqrt{3}}}$

$tan(frac{alpha}{2})=frac{6-2sqrt{3}}{6}=frac{3-sqrt{3}}{3}$

$tan(frac{alpha}{2})=1-frac{sqrt{3}}{3}$

Alternativa correta é Letra C.

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