Questão 4

FUVEST 2022

Matemática

(FUVEST - 2022 - 2ª fase)

Uma pirâmide 𝐏 tem base quadrada $A_0B_0C_0D_0$ de lado medindo 1 𝑢. 𝑚., apoiada em um plano $Pi$ , e quatro faces que são triângulos equiláteros, ligando a base ao ápice $E_0$ de 𝐏. Os dezesseis pontos $A_1A_2A_3B_1B_2B_3C_1C_2C_3D_1D_2D_3E_1E_2E_3$ e $E_4$ , indicados na figura, dividem cada aresta da pirâmide em três segmentos de igual medida.

Um novo sólido 𝐒, em destaque na figura, é produzido subtraindo-se de 𝐏 as cinco pirâmides $A_0A_1A_2A_3$ , $B_0_1B_2B_3$ , $C_0C_1C_2C_3$ , $D_0 D_1D_2D_3$ e $E_0E_1E_2E_3$ . Determine:

a) o perímetro da face de 𝐒 que se apoia em $Pi$ , cujos vértices são $A_1, A_3, B_1, B_3, C_1, C_3, D_1$ e $D_3$ .
b) o volume de 𝐒.
c) a distância entre $A_1$ e $E_2$ .

Gabarito:

Resolução:

A) Temos a seguinte figura:

Para o perímetro temos 4 lados que estão no quadrado original que medem $frac{1}{3}$ e 4 lados que são hipotenusas de triângulos retângulos

Medida da hipotenusa: $sqrt{2} cdot frac{1}{3}=frac{sqrt{2}}{3}$

Perímetro:

$S=4cdot frac{sqrt{2}}{3} +4cdot frac{1}{3}$

$S=frac{4(sqrt{2}+1)}{3} u. m.$

B) i) Volume da pirâmide antes dos cortes:

Todos os arestas medem 1 u.m. Podemos utilizar a fórmula do volume de um tetraedro regular:

$V=frac{l^3sqrt{2}}{12}$

$V=frac{sqrt{2}}{12}$

ii) Volume de cada uma das quatro pirâmides cortadas da base:

$a=frac{1}{3}cdot frac{dsqrt{3}}{2}$

Como $d=frac{sqrt{2}}{3}$ :

$a=frac{sqrt{3}}{6}cdot frac{sqrt{2}}{3}$

$a=frac{sqrt{6}}{18}$

Por Pitágoras:

$frac{1}{9}=h^2+a^2$

$h^2=frac{1}{9}-frac{6}{324}$

$h^2=frac{1}{9}-frac{1}{54}$

$h^2=frac{5}{54}$

$h=frac{sqrt{5}}{3sqrt{6}}$

O volume de cada pirâmide é área da base vezes altura:

$v_1=A_b cdot h$

$v_1=frac{(frac{sqrt{2}}{3})^2sqrt{3}}{4}cdot frac{sqrt{5}}{3sqrt{6}}$

$v_1=frac{sqrt{5}}{54sqrt{2}}$

iii) Volume da pirãmide cortada superiormente. que é um tetraedro regular de lado $frac{1}{3}$

$v_2=frac{l^3sqrt{2}}{12}$

$v_2=frac{sqrt{2}}{12cdot 27}$

iii) Volume de S:

$V_S=frac{sqrt{2}}{12}-4cdot frac{sqrt{5}}{54sqrt{2}}-frac{sqrt2}{324}$

$V_S=frac{sqrt{2}}{12}-frac{2sqrt{10}}{54}-frac{sqrt2}{324}$

$V_S=frac{27sqrt{2}-12sqrt{10}-sqrt2}{324}$

$V_S=frac{26sqrt{2}-12sqrt{10}}{324}$

$V_S=frac{13sqrt{2}-6sqrt{10}}{162} u.v.$

C) Num sistema de coordenadas em três dimensões, em que a origem é o ponto $A_0$ , vamos descobrir as coordenadas de cada ponto.

$A_1=(frac{1}{3},0,0)$

$E_2=(frac{1}{3},frac{2}{3},z)$ → somente a altura deste ponto não é clara pela figura, devemos analisar por semelhança de figuras

Se a altura total da pirâmide é $h=frac{sqrt{5}}{3sqrt{6}}$ e o lado da base mede 1, então a pirâmide superior, cuja base mede $frac{1}{3}$ tem altura z:

$frac{frac{1}{3}}{1}=frac{z}{h}$