Questão 5

FUVEST 2022

Matemática

(FUVEST - 2022 - 2ª fase)

Considere, no plano cartesiano, a circunferência com centro no ponto (0 , 3) e com raio 2 e, para cada $ainmathbb{R}$ , $a eq0$ , a parábola cuja equação é y = 𝑎x² + 1.

a) Para 𝑎 = −1, encontre o ponto comum entre a circunferência e a parábola.

b) Para 𝑎 = 1, apresente 3 pontos em comum entre a circunferência e a parábola.

c) Encontre todos os valores de 𝑎 para os quais a circunferência e a parábola possuam exatamente 3 pontos em comum.

Gabarito:

Resolução:

a) Para $a = -1$ então a função da parábola fica $y = -x^{2} + 1$ e temos a equação da circunferência dada por: $x^{2} + (y-3)^{2} = 4$

Então vamos substituir o $x^{2}$ da parábola na circunferência: $x^{2} = 1 - y$ . Logo:

$1-y + (y-3)^{2} = 4$

$y^{2} -7y + 6 = 0$

Basta calcularmos as raízes da equação:

$Delta = 25$

y = 6 e y = 1

para $y = 6$ $x^{2} = - 5$ (impossível)

para $y = 1$ $x = 0$

Portanto, o ponto é (0,1)

b) Para $a = 1$ então a função da parábola fica $y = x^{2} + 1$ e temos a equação da circunferência dada por: $x^{2} + (y-3)^{2} = 4$

Então vamos substituir o $x^{2}$ da parábola na circunferência: $x^{2} = y - 1$ . Logo:

$y - 1 + (y-3)^{2} = 4$

$y^{2} -5y + 4 = 0$

Basta calcularmos as raízes da equação:

$Delta = 9$

y = 6 e y = 1

para y = 4 $x^{2} = 3$ , então $x = sqrt 3$ e $x = - sqrt3$

para y = 1 x = 0

Portanto os pontos são (0,1) , ( $sqrt3$ , 4), ( $-sqrt3$ , 4)

c) Para a então a função da parábola fica $y = ax^{2} + 1$ e temos a equação da circunferência dada por: $x^{2} + (y-3)^{2} = 4$

Então vamos substituir o y da parábola na circunferência. Logo:

$x^{2}+ (ax^{2} + 1-3)^{2} = 4$

$x^{2}+ (ax^{2} - 2)^{2} = 4$

$x^{2}+ a^{2}x^{4} - 4ax^{2} +4 = 4$

$a^{2}x^{4} + (1- 4a)x^{2} = 0$

$x^{2}(a^{2}x^{2} + 1 -4a) =0$

Então $x^{2} = 0$ ou $a^{2}x^{2} + 1 -4a = 0$

Logo

$x^{2} = frac{4a -1}{a^{2}}$

$x = frac{sqrt(4a -1)}{|a|}$

E basta:

$4a - 1 > 0$

$a > frac{1}{4}$

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