Questão 1

FUVEST 2022

Matemática

(FUVEST - 2022 - 2ª fase)

Uma sequência de números naturais é construída da seguinte forma: seu primeiro termo $t_1$ é escolhido como sendo um número natural qualquer. Se $t_1$ for par, então $t_2=frac{t_{1}}{2}$ e, se $t_1$ for ímpar, então $t_2=3t_{1}+1$ . Os termos seguintes $t_n$ são obtidos de acordo com essa mesma regra. Por exemplo, se $t_1=3$ , então $t_2=10$ , $t_3=5$ , $t_4=16$ e assim por diante.

Dessa forma, a partir de $t_1 in mathbb{N}$ , $ngeq 2$ , a sequência $t_n$ é definida como

a) Para $t_1$ = 22, determine $t_4$ .

b) Determine todos os possíveis 𝑡ଵ para os quais $t_4=10$ .

c) Para $t_1=26$ , determine $t_{2022}$ .

Gabarito:

Resolução:

A) Sabemos que $t_1=22$ , que é par.

Calculando $t_2$ :

$t_2=frac{t_1}{2}=frac{22}{2}=11$

$t_2=11$ , que é ímpar.

Calculando $t_3$ :

$t_3=3t_2+1$

$t_3=3cdot 11+1=34$

$t_3=34$ , que é par.

Calculando $t_4$ :

$t_4=frac{t_3}{2}=frac{34}{2}=17$

$t_4=17$

B) Como temos o valor de $t_4$ , vamos encontrar os valores de $t_3$ possíveis que resultaram nesse valor de $t_4$ :

Se $t_3$ é par:

$frac{t_3}{2}=10$

$t_3=20$ → coerente

Se $t_3$ é ímpar:

$3t_3+1=10$

$t_3=3$ → coerente

Valores possíveis de $t_3$ : 3 e 20.

Vamos encontrar os valores de $t_2$ que resultaram esses valores de $t_3$ :

Se $t_2$ é par:

i) $frac{t_2}{2}=3$

$t_2=6$ → coerente

ii) $frac{t_2}{2}=20$

$t_2=40$ → coerente

Se $t_2$ é ímpar:

i) $3t_2+1=3$

$t_2=frac{2}{3}$ → inválido, não é natural

i) $3t_2+1=20$

$t_2=frac{19}{3}$ → inválido, não é natural

Valores possíveis de $t_2$ : 6 e 40.

Vamos encontrar os valores de $t_1$ que resultaram esses valores de $t_2$ :

Se $t_1$ é par:

i) $frac{t_1}{2}=6$

$t_1=12$ → coerente

ii) $frac{t_1}{2}=40$

$t_1=80$ → coerente

Se $t_1$ é ímpar:

i) $3t_1+1=6$

$t_1=frac{5}{3}$ → inválido, não é natural

i) $3t_1+1=40$

$t_2=13$ → coerente

Valores possíveis de $t_1$ : 12, 80 e 13.

C) Vamos procurar algum momento em que a sequência passa a se repetir:

$t_1=26$

$t_2=frac{26}{2}=13$

$t_3=3t_2+1=40$

$t_4=frac{40}{2}=20$

$t_5=frac{20}{2}=10$

$t_6=frac{10}{2}=5$

$t_7=3t_6+1=16$

$t_8=frac{t_7}{2}=8$

$t_9=frac{t_8}{2}=4$

$t_{10}=frac{t_9}{2}=2$

$t_{11}=frac{t_{10}}{2}=1$

$t_{12}=3t_{11} +1=4$

Veja que a partir do termo $t_{12}$ a sequência começa a se repetir, todos os números seguintes seguirão a ordem 4,2,1,4… , repetindo a cada três índices. Percebemos, então a seguinte lógica a partir de $t_9$ :