Questão 3

FUVEST 2022

Matemática

(FUVEST - 2022 - 2ª fase)

Considere o conjunto 𝐶 de pontos do plano cartesiano da forma (𝑚 , 𝑛), com 𝑚 e 𝑛 pertencentes a {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

a) Apresente todos os pontos (𝑚 , 𝑛) de 𝐶 para os quais o produto 𝑚∙𝑛 é maior do que 60.

b) Sorteando-se um ponto (𝑚 , 𝑛) de 𝐶, com iguais probabilidades para todos os pontos, qual é a probabilidade de que a fração $frac mn$ seja redutível?

c) Sorteando-se, com iguais probabilidades, dois pontos distintos de 𝐶, qual é a probabilidade de que a distância entre eles seja igual a $sqrt {13}$ ?

Note e adote:

Uma fração $frac mn$ é redutível quando m e n possuem um divisor natural em comum, além do 1

Gabarito:

Resolução:

a) Vamos encontrar produtos $m cdot n$ que sejam maiores que 60.

• Para que 3 seja um dos termos, o outro termo deveria ser maior que 20. Como não temos opções para isso, o 3 não participa da nossa solução.

• Para que 4 seja um dos termos, o outro termo deveria ser maior que 15. Como não temos opções para isso, o 4 não participa da nossa solução.

• Para que 5 seja um dos termos, o outro termo deveria ser maior que 12. Como não temos opções para isso, o 5 não participa da nossa solução.

• Para que 6 seja um dos termos, o outro termo deveria ser maior que 10. Como não temos opções para isso, o 6 não participa da nossa solução.

• Para que 7 seja um dos termos, o outro termo deveria ser maior que $frac{60}{7}$ , que é em torno de 8,5 . Então temos os pontos (7,9) e (9,7) possíveis.

• Para que 8 seja um dos termos, o outro termo deveria ser maior que $frac{60}{8}$ , que é 7,5. Então temos os pontos (8,9), (8,8) e (9,8) possíveis.

• Para que 9 seja um dos termos, o outro termo deveria ser maior que $frac{60}{9}$ . Mas os pontos com 9 já foram mencionados acima.

Todos os pontos possíveis: (7,9), (9,7), (8,9), (8,8) e (9,8).

b) A forma mais fácil de resolvermos é encontrando a probabilidade de a fração ser irredutível e subtraindo esse valor de 1.

Para que $frac{m}{n}$ seja irredutível, m e n devem ser primos entre si. Vamos então fatorar todos os números e encontrar todos os pares de números que não possuem fatores comuns entre si.

4=2²

$6=2cdot 3$

8=2³

9=3²

• O 3 forma pares com todos que não tem o fator 3: (3,4) e (4,3); (3,5) e (5,3); (3,7) e (7,3); (3,8) e (8,3). → adicionamos 8 pontos ao nosso grupo

• O 4 forma pares com todos que não tem o fator 2: (4,5) e (5,4); (4,7) e (7,4); (4,9) e (9,4). → adicionamos 6 pontos ao nosso grupo

• O 5 forma pares com todos que não tem o fator 5: (5,6) e (6,5); (5,7) e (7,5); (5,8) e (8,5); (5,9) e (9,5). → adicionamos 8 pontos ao nosso grupo

• O 6 forma pares com todos que não tem o fator 2 nem 3: (6,7) e (7,6); → adicionamos 2 pontos ao nosso grupo

• O 7 forma pares com todos que não tem o fator 7: (7,8) e (8,7); (7,9) e (9,7); → adicionamos 4 pontos ao nosso grupo

• O 8 forma pares com todos que não tem o fator 2: (8,9) e (9,8); → adicionamos 2 pontos ao nosso grupo.

Quantidade total do grupo: 30 pontos

Espaço amostral: $7 cdot 7$ = 49 pontos

Probabilidade da fração ser irredutível: $frac{30}{49}$

Probabilidade da fração ser redutível: $1 - frac{30}{49}=frac{19}{49}$

$P=frac{19}{49}$

c) Para cálculo da distância entre dois pontos X e Y genéricos, podemos utilizar a seguinte fórmula:

$d^2=(a-c)^2+(b-d)^2$

$(sqrt{13})^2= (a-c)^2+(b-d)^2$

$13=(a-c)^2+(b-d)^2$

Como os números que temos à disposição são naturais, a única forma de 13 ser a soma de dois quadrados perfeitos é se esses quadrados perfeitos forem 4 e 9. Assim:

$(a-c)^2=2^2$

$|a-c|=2$

→ dois números cuja diferença é 2: 3 e 5, 4 e 6, 5 e 7, 6 e 8, 7 e 9. Como a ordem pode trocar, temos $5 cdot 2=10$ possibilidades para as abcissas dos pontos.

$(b-d)^2=3^2$

$|b-d|=3$

→ dois números cuja diferença é 3: 3 e 6, 4 e 7, 5 e 8, 6 e 9. Como a ordem pode trocar, temos $4 cdot 2=8$ possibilidades para as ordenadas dos pontos.