Questão 37
FUVEST 2022
(FUVEST- 2022 - 1ª fase)
A figura mostra um quadrado e um círculo, ambos com centro no ponto 𝑂. O quadrado tem lado medindo 1 unidade de medida (u.m.) e o círculo tem raio igual a 2 u.m. O ponto 𝐴 está sobre o contorno do quadrado, o ponto 𝐵 está sobre o contorno do círculo, e o segmento 𝐴𝐵 tem tamanho 2 u.m.
Quando o ângulo for máximo, seu cosseno será:
Gabarito:
Resolução:
Como OB é raio da circunferência, OB tem medida constante igual a 2 u.m. No enunciado, também é dado que o segmento AB também tem medida 2 u.m.
Desta forma, o triângulo AOB é sempre isósceles, e o maior valor possível de é encontrado quando a base do triângulo isósceles é a menor possível, como na figura:
O menor valor possível do segmento OA é quando ele esta paralelo aos lados do quadrado, medindo exatamente metade do lado. Desta forma, OA = u.m.
Como temos a medida de todos os lados do triângulo, podemos encontrar o cosseno de por lei dos cossenos: