Questão 22

FUVEST 2020

Matemática

(FUVEST - 2020) Um ponto (x, y) do plano cartesiano pertence ao conjunto F se é equidistante dos eixos OX e OY e pertence ao círculo de equação $x^2+y^2-2x-6y+2=0$ . É correto afirmar que F:

é um conjunto vazio.

tem exatamente 2 pontos, um no primeiro quadrante e outro no segundo quadrante.

tem exatamente 2 pontos, ambos no primeiro quadrante.

tem exatamente 3 pontos, sendo dois no primeiro quadrante e outro no segundo quadrante.

tem exatamente 4 pontos, sendo dois no primeiro quadrante e dois no segundo quadrante.

Gabarito:

tem exatamente 3 pontos, sendo dois no primeiro quadrante e outro no segundo quadrante.

Resolução:

1) Antes de encontrar os pontos, vamos encontrar o centro da circunferência completando quadrados:

$x^2-2x+2+y^2-6y=0$

$x^2-2x+2-1+y^2-6y=-1$

$x^2-2x+1+y^2-6y+9=-1+9$

$left ( x-1 ight )^{2}+left ( y-3 ight )^{2}=8$

Então, o centro da circunferência é o ponto (1,3) e o raio é $2sqrt{2}$ . Assim a circunferência estará no 1º e no 2º quadrante.

2) O lugar geométrico cujos pontos são equidistantes dos eixos ܱܺOX e OY são as retas $x=y ; e; x=-y.$

3) Logo, os pontos de encontro entre a circunferência $x^2+y^2-2x-6y+2=0$ e $x=y$ são:

$y^2+y^2-2y-6y+2=0$

3.1) Simplificando:

$2y^2-8y+2=0$

3.2) Pela fórmula resolutiva:

$y_{1,:2}=frac{-left(-8 ight)pm sqrt{left(-8 ight)^2-4cdot :2cdot :2}}{2cdot :2}$

$y_1=2+sqrt{3},:y_2=2-sqrt{3}$

3.3) Logo, eles se encontram em

$(2+sqrt{3},2+sqrt{3});e;(2-sqrt{3}, 2-sqrt{3})$

4) Logo, os pontos de encontro entre a circunferência $x^2+y^2-2x-6y+2=0$ e $x=-y$ são:

$(-y)^2+y^2-2 cdot (-y)-6y+2=0$

4.1) Simplificando:

$2y^2-4y+2=0$

4.2) Pela fórmula resolutiva:

$y_{1,:2}=frac{-left(-4 ight)pm sqrt{left(-4 ight)^2-4cdot :2cdot :2}}{2cdot :2}$

$y=1$

4.3) Logo, eles se encontram em

$(-1, 1)$

5) Com isso, tem exatamente 3 pontos, sendo dois no primeiro quadrante $(2+sqrt{3},2+sqrt{3});e;(2-sqrt{3}, 2-sqrt{3})$ e outro no segundo quadrante $(-1, 1)$ .

PS: Interpretação gráfica:

Questão 22

FUVEST 2020

Questões relacionadas

Questão 24

Questão 23

Questão 21

Questão 20