Questão 6

FUVEST 2018

Matemática

(FUVEST - 2018 - 2a fase)

Considere a função real definida por $f(x)=sqrt{x-frac{1}{x}}+sqrt{1-frac{1}{x}} -x$ .

a) Qual é o domínio de $f$ ?

b) Encontre o(s) valor(es) de x para o(s) qual(is) f(x) = 0.

Gabarito:

Resolução:

Resolução em produção:

a) Para encontrar o domínio, temos que são os números reais desde que as regras abaixo sejam respeitadas:

$x-frac{1}{x}geq 0$ e $1-frac{1}{x}geq 0$ e $x eq0$

1) Para $x-frac{1}{x}geq 0$ :

$frac{x^2-1}{x}ge :0$

$mathrm{Encontre:os:sinais:dos:fatores:de:}frac{x^2-1}{x}$ :

Logo, $-1le :x<0quad mathrm{ou}quad :xge :1$

2) Para $1-frac{1}{x}geq 0$

$frac{x-1}{x}ge :0$

$mathrm{Encontre:os:sinais:dos:fatores:de:}frac{x-1}{x}$ :

Logo, $x<0quad mathrm{or}quad :xge :1$

3) Unindo os intervalos:

$-1le :x<0quad mathrm{ou}quad :xge :1$

4) Colocando em notação de intervalo:

$mathrm{D={x in mathbb{R}/:-1le :x<0quad mathrm{ou}quad :xge :1}}$

b) Temos que f(x)=0, logo

$sqrt{x-frac{1}{x}}+sqrt{1-frac{1}{x}} -x=0$

1) Organizando:

$sqrt{x-frac{1}{x}}=x-sqrt{1-frac{1}{x}}$

2) Elevando ambos os lados ao quadrado:

$left(sqrt{x-frac{1}{x}} ight)^2=left(x-sqrt{1-frac{1}{x}} ight)^2$

$x-frac{1}{x}=x^2-2sqrt{1-frac{1}{x}}x+1-frac{1}{x}$

3) Simplificando:

$-x^2+x-1=-2sqrt{1-frac{1}{x}}x$

4) Elevando ambos os lados ao quadrado:

$left(-x^2+x-1 ight)^2=left(-2sqrt{1-frac{1}{x}}x ight)^2$

$x^4-2x^3+3x^2-2x+1=4x^2-4x$

5) Simplificando:

$x^4-2x^3-x^2+2x+1=0$

6) Desenvolvendo encontramos:

$frac{x^4-2x^3-x^2+2x+1}{x^2}=0$

Lembre-se que $x eq 0$ .

7) Organizando

$x^2-2x-1+frac{2}{x}+frac{1}{x^2}=0$

$x^2+frac{1}{x^2}-2left (x-frac{1}{x} ight )-1=0$

8) Fazendo $x-frac{1}{x}=y$ , temos que:

$(y^2+2)-2y-1=0$

9) Logo, y=1 (perceba que trata-se de uma raiz dupla).

10) Logo,

$x-frac{1}{x}=1$

11) Com isso, temos:

$x^2-x-1=0$

$x_{1,:2}=frac{-left(-1 ight)pm sqrt{left(-1 ight)^2-4cdot :1left(-1 ight)}}{2cdot :1}$

$x_1=frac{1+sqrt{5}}{2},:x_2=frac{1-sqrt{5}}{2}$

12) Ao verificar as respostas, encontramos que apenas

$x_1=frac{1+sqrt{5}}{2}$ é solução.

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