Questão 30

FUVEST 2018

Matemática

(FUVEST - 2018 - 1a fase)

Admitindo que a linha pontilhada represente o gráfico da função f(x) = sen(x) e que a linha contínua represente o gráfico da função g(x) = $alpha$ sen( $eta$ x), segue que

0 < $alpha$ < 1 e 0 < $eta$ < 1

$alpha$ > 1 e 0 < $eta$ < 1

$alpha$ = 1 e $eta$ > 1

0 < $alpha$ < 1 e $eta$ > 1

0 < $alpha$ < 1 e $eta$ = 1

Gabarito:

0 < $alpha$ < 1 e 0 < $eta$ < 1

Resolução:

Para resolver essa questão, primeiro iremos analisar os períodos das duas funções, que estão diretamente relacionados com o coeficiente $eta$

Pelo gráfico , o período da função f é $2pi$ e o da função g é $4pi$ . (Observe que em f(x), os valores de $alpha$ e $eta$ valem 1, por isso não aparecem)

O período de uma função pode ser calculado dessa forma: $P = frac{2pi}{left | eta ight |}$

Logo, $left | eta ight | = frac{2pi}{P}$ .

$left | eta ight | = frac{2pi}{4pi}$ $ightarrow$ $eta = frac{1}{2}$

Como o os valores de y são dados por g(x), a "altura" da função é influenciada diretamente por $alpha$ . A função g é mais baixa que a função f, que tem $alpha = 1$ .

Dessa forma, o $alpha$ da função g é menor do que 1.

Lembrando que para essa função exista, os valores de $alpha$ e $eta$ devem ser maiores do que zero.

Então:

$0<alpha<1$ e $0<eta<1$

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