Questão 28

FUVEST 2018

Matemática

(FUVEST - 2018 - 1a fase)

Sejam Df e Dg os maiores subconjuntos de R nos quais estão definidas, respectivamente, as funções reais

Considere, ainda, If e Ig as imagens de f e de g, respectivamente.

Nessas condições,

D_f = D_ge I_f = I_g

tanto D_f e D_g quanto I_f e I_g diferem em apenas um ponto.

D_f e D_g diferem em apenas um ponto,I_f e I_g diferem em mais de um ponto

D_f e D_g diferem em mais de um ponto, I_f e I_g diferem em apenas um ponto

tanto D_f e D_g quanto I_f e I g diferem em mais de um ponto

Gabarito:

tanto D_f e D_g quanto I_f e I g diferem em mais de um ponto

Resolução:

Para resolver essa questão, devemos analisar as codições de domínio para que sejam funções reais.

1) Analisando f(x)

$f(x) = sqrt{frac{x^{3}+2x^{2}-4x-8}{x-2}}$

a) o denominador da função não pode ser 0, logo $x eq 2$

b) a equação dentro da raiz deve ser maior ou igual a 0.

$frac{x^{3}+2x^{2}-4x-8}{x-2} geq 0$ $ightarrow$ $frac{x^{2} left(x+2 ight ) - 4left(x+2 ight )}{x-2} geq 0$ $ightarrow$ $frac{ left(x+2 ight ) left(x^{2} - 4 ight )}{x-2} geq 0$

$frac{ left(x+2 ight ) left( x+2 ight) left(x-2 ight ) }{x-2} geq 0$ $ightarrow$ $left(x+2 ight )left(x+2 ight ) geq 0$ $ightarrow$ $left(x+2 ight )^{2} geq 0$ $forall x$ (PARA TODO VALOR DE X).

$D_{f} = mathbb{R} - left { 2 ight }$

2) Analisando g(x)

$g(x) = frac{sqrt{x^{3}+2x^{2}-4x-8}}{sqrt{x-2}}$

a) $x-2$ no denominador deve ser maior que 0. Logo, $x > 2$

b) $x^{3}+2x^{2}-4x-8 geq 0$

$(x+2)(x+2)(x-2) geq 0$ Logo, $xgeq 2$

$D_{g} = left { xin mathbb{R} : x >2 ight }$

Logo essas funções diferem em mais de um ponto.

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