Questão 6507

FUVEST 2000

Matemática

(FUVEST - 2000) Sejam a, b, c três números estritamente positivos em progressão aritmética. Se a área do triângulo ABC, cujos vértices são A=(-a, 0), B=(0, b) e C=(c, 0), é igual a b, então o valor de b é:

Gabarito:

Resolução:

Resolução 1:

1) Se a área do triângulo ABC, cujos vértices são A=(-a, 0), B=(0, b) e C=(c, 0), é igual a b, logo:

$frac{egin{vmatrix} -a & 0 & 1\ 0 & b & 1\ c & 0 & 1 end{vmatrix}}{2} = b$

$|-ab-bc|=2b$

Como a, b e c são estritamente positivos:

$ab+bc=2b$

$a+c=2$

2) Temos que a, b, c três números estritamente positivos em progressão aritmética.

2.1) Sabemos que a, b e c estão em PA:

a = b - r
c = b + r

2.2) Substituindo:

b-r+b+r=2

2b=2

b=1

Resolução 2:

$\A=frac{1}{2}cdot |egin{vmatrix} -a & 0\ 0& b\ c& 0\ -a &0 end{vmatrix}|=b\\\2b=|(-a)cdot b+0cdot 0+ccdot0-0cdot0-bcdot c-(-a)cdot0|\\2b=|-ab-bc|\\2b=ab+bc;;;;;Rightarrow ;;;; extbf{b(a+c-2)=0}$

b não pode ser zero pois no enunciado é dito que a, b e c são estritamente positivos! Então a + c - 2 = 0

Mas sabemos que a, b e c estão em PA:

a = b - r
c = b + r

Substituindo na equação em negrito:

a + c - 2 = 0 --->> b - r + b + r - 2 = 0 .:. b = 1

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