Questão 13

ESPCEX 2023

Matemática

(EsPCEx - 2023)

Sabendo que $x epsilon mathbb{R}$ , o conjunto solução S da equação $4^{x} + 10^{x}=25^{x}$ é:

$S= left { frac{-1+sqrt{5}}{2} ight }$

$S= left { frac{-1-sqrt{5}}{2} ight }$

$S= left { frac{-1+sqrt{5}}{2}, frac{-1-sqrt{5}}{2} ight }$

$S= left {log_{frac{2}{5}}( frac{-1+sqrt{5}}{2} ) ight }$

$S= left {log_{frac{2}{5}}( frac{-1-sqrt{5}}{2} ) ight }$

Gabarito:

$S= left {log_{frac{2}{5}}( frac{-1+sqrt{5}}{2} ) ight }$

Resolução:

$\ 4^{x} + 10^{x} = 25^{x} \ \ (2^{x})^{2} + 2^{x} . 5^{x} = (5^{x})^{2} \ \ a = 2^{x} \ \ b = 5^{x}$

$a^{2} + ab = b^{2} \ \ 1a^{2} + b.a - b^{2} = 0 \ \ Delta = b^{2} - 4.1.(-b^{2}) \ \ Delta = b^{2} +4b^{2} = 5b^{2} \ \ a = frac{-b + sqrt{5b^{2}}}{2} \ \ a = (frac{-1+sqrt{5}}{2}).b \ \$

Portanto,

$2^{x} = frac{-1+sqrt{5}}{2}. 5^{x} \ \ (frac{2}{5})^{x} = frac{-1+sqrt{5}}{2} \ \ log_{frac{2}{5}}(frac{2}{5})^{x} =log _{frac{2}{5}} frac{-1+sqrt{5}}{2} \ \ x = log _{frac{2}{5}} (frac{-1+sqrt{5}}{2})$

Gabarito: D

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