Questão 5
ESPCEX 2023
(EsPCEx - 2023)
Em um polígono regular ABCDEFG..., as interseções da mediatriz relativa ao lado CD com a bissetriz interna relativa ao vértice A e com o lado CD são, respectivamente, os pontos O1 e M1. Sabendo que o ângulo é igual a 75° e que o lado BC está contido no interior do ângulo
, número de diagonais do polígono ABCDEFG... é igual a:
35
44
54
65
77
Gabarito:
54
Resolução:
Temos que observando a figura:
Quando traçamos a bissetriz do ângulo em A e a mediana relativa ao segmento CD, a configuração geométrica resultante é a que foi mencionada anteriormente. Ao observarmos que o ângulo interno do polígono regular é 2θ, podemos deduzir que o ângulo em A é dividido em dois ângulos de θ cada. Nesse contexto, o polígono destacado é um pentágono. Ao calcularmos a soma dos seus ângulos internos, obtemos o valor de 2θ. Vamos realizar esses cálculos.
Temos que a soma dos ângulos internos:
Portanto, temos:
Portanto, o ângulo interno do polígono dada mede: 150, com isso podemos calcular:
Se compararmos temos que n = 12, portanto:
Podemos calcular o número de diagonais:
Gabarito: C