Questão 9

ESPCEX 2021

Matemática

(EsPCEx - 2021) O número de soluções inteiras que satisfaz a inequação $4^x -10cdot2^x + 16 < 0$ , é igual a

Gabarito:

Resolução:

$4^x-10cdot2^x+16<0$ .

Utilizando a substituição: $2^x=alpha$ .

A inequação se transforma em:

$alpha^2 -10alpha +16 <0$ .

As soluções dessa inequação são os valores de $alpha$ que estão entre as raízes da equação:

$alpha^2 -10alpha +16 = 0$ .

$alpha = frac{10 pmsqrt{100 - 4*16}}{2}$ .

$alpha_{1,2} = frac{10 pm6}{2}$

$alpha_1 = 2$ .

$alpha_2 = 8$ .

Isso implica que $2^1 < alpha < 2^3$

Portanto: $2^1 < 2^x < 2^3$ .

Como x deve ser inteiro, x = 2 será solução única.

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